Rozwiąż algebraicznie nierówność:- Zadanie 1: Matematyka 2. Zakres rozszerzony

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

$a)$

$∣ ∣ x - 3 ∣ - 2 ∣ < 4$

$∣ x - 3 ∣ - 2 < 4 \land ∣ x - 3 ∣ - 2 > - 4$

$∣ x - 3 ∣ < 6 \land ∣ x - 3 ∣ > - 2$

$x - 3 < 6 \land x - 3 > - 6 \land x \in R$

$x < 9 \land x > - 3$

$x \in (- 3, 9)$

$b)$

$∣ ∣ x + 5 ∣ - 7 ∣ \leq 1$

$∣ x + 5 ∣ - 7 \leq 1 \land ∣ x + 5 ∣ - 7 \geq - 1$

$∣ x + 5 ∣ \leq 8 \land ∣ x + 5 ∣ \geq 6$

$(x + 5 \leq 8 \land x + 5 \geq - 8) \land (x + 5 \geq 6 \lor x + 5 \leq - 6)$

$(x \leq 3 \land x \geq - 13) \land (x \geq 1 \lor x \leq - 11)$

$x \in ⟨ - 13, 3 ⟩ \land x \in (- \infty, - 11 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

$x \in ⟨ - 13, - 11 ⟩ \cup ⟨ 1, 3 ⟩$

$c)$

$∣ 3 - ∣ x + 5 ∣ ∣ > 7$

$3 - ∣ x + 5 ∣ > 7 \lor 3 - ∣ x + 5 ∣ < - 7$

$- 4 > ∣ x + 5 ∣ \lor 10 < ∣ x + 5 ∣$

$x \in \emptyset \lor x + 5 > 10 \lor x + 5 < - 10$

$x > 5 \lor x < - 15$

$x \in (- \infty, - 15) \cup (5, + \infty)$

$d)$

$∣ 4 + ∣ x - 3 ∣ ∣ \geq 1$

$4 + ∣ x - 3 ∣ \geq 1 \lor 4 + ∣ x - 3 ∣ \leq - 1$

$∣ x - 3 ∣ \geq - 3 \lor ∣ x - 3 ∣ \leq - 5$

$x \in R \lor x \in \emptyset$

$x \in R$

$e)$

$∣ - ∣ 2 x + 1 ∣ + 4 ∣ \leq 8$

$∣ ∣ 2 x + 1 ∣ - 4 ∣ \leq 8$

$∣ 2 x + 1 ∣ - 4 \leq 8 \land ∣ 2 x + 1 ∣ - 4 \geq - 8$

$∣ 2 x + 1 ∣ \leq 12 \land ∣ 2 x + 1 ∣ \geq - 4$

$2 x + 1 \leq 12 \land 2 x + 1 \geq - 12 \land x \in R$

$2 x \leq 11 \land 2 x \geq - 13$

$x \leq \frac{11}{2} \land x \geq - \frac{13}{2}$

$x \in ⟨ - 6 \frac{1}{2}, 5 \frac{1}{2} ⟩$

$f)$

$∣ ∣ 3 - 2 x ∣ - 3 ∣ \leq 2$

$∣ 3 - 2 x ∣ - 3 \leq 2 \land ∣ 3 - 2 x ∣ - 3 \geq - 2$

$∣ 3 - 2 x ∣ \leq 5 \land ∣ 3 - 2 x ∣ \geq 1$

$(3 - 2 x \leq 5 \land 3 - 2 x \geq - 5) \land (3 - 2 x \geq 1 \lor 3 - 2 x \leq - 1)$

$(- 2 x \leq 2 \land - 2 x \geq - 8) \land (- 2 x \geq - 2 \lor - 2 x \leq - 4)$

$(x \geq - 1 \land x \leq 4) \land (x \leq 1 \lor x \geq 2)$

$x \in ⟨ - 1, 4 ⟩ \land x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 2, + \infty)$

$x \in ⟨ - 1, 1 ⟩ \cup ⟨ 2, 4 ⟩$

$g)$

$5 - 16 x^{2} + 24 x + 9 \geq 2$

$5 - (4 x + 3)^{2} \geq 2$

$∣ 5 - | 4 x + 3 | ∣ \geq 2$

$5 - ∣ 4 x + 3 ∣ \geq 2 \lor 5 - ∣ 4 x + 3 ∣ \leq - 2$

$3 \geq ∣ 4 x + 3 ∣ \lor 7 \leq ∣ 4 x + 3 ∣$

$(4 x + 3 \leq 3 \land 4 x + 3 \geq - 3) \lor (4 x + 3 \geq 7 \lor 4 x + 3 \leq - 7)$

$(4 x \leq 0 \land 4 x \geq - 6) \lor (4 x \geq 4 \lor 4 x \leq - 10)$

$(x \leq 0 \land x \geq - \frac{3}{2}) \lor (x \geq 1 \lor x \leq - \frac{5}{2})$

$x \in ⟨ - \frac{3}{2}, 0 ⟩ \lor x \in (- \infty, - \frac{5}{2} ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

$x \in (- \infty, - 2 \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ - 1 \frac{1}{2}, 0 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

$h)$

$2 x^{2} - 8 x + 16 - 6 \leq 4$

$2 (x - 4)^{2} - 6 \leq 4$

$∣ 2 ∣ x - 4 ∣ - 6 ∣ \leq 4$

$2 ∣ ∣ x - 4 ∣ - 3 ∣ \leq 4$

$∣ ∣ x - 4 ∣ - 3 ∣ \leq 2$

$∣ x - 4 ∣ - 3 \leq 2 \land ∣ x - 4 ∣ - 3 \geq - 2$

$∣ x - 4 ∣ \leq 5 \land ∣ x - 4 ∣ \geq 1$

$(x - 4 \leq 5 \land x - 4 \geq - 5) \land (x - 4 \geq 1 \lor x - 4 \leq - 1)$

$(x \leq 9 \land x \geq - 1) \land (x \geq 5 \lor x \leq 3)$

$x \in ⟨ - 1, 9 ⟩ \land x \in (- \infty, 3 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty)$

$x \in ⟨ - 1, 3 ⟩ \cup ⟨ 5, 9 ⟩$

$i)$

$2 3 - 5 x^{2} - 4 x + 4 > 9$

$2 3 - 5 (x - 2)^{2} > 9$

$2 ∣ 3 - 5 | x - 2 | ∣ > 9$

$2 (3 - 5 ∣ x - 2 ∣) > 9 \lor 2 (3 - 5 ∣ x - 2 ∣) < - 9$

$6 - 10 ∣ x - 2 ∣ > 9 \lor 6 - 10 ∣ x - 2 ∣ < - 9$

$- 10 ∣ x - 2 ∣ > 3 \lor - 10 ∣ x - 2 ∣ < - 15$

$∣ x - 2 ∣ < - \frac{3}{10} \lor ∣ x - 2 ∣ > \frac{15}{10}$

$x \in \emptyset \lor ∣ x - 2 ∣ > \frac{3}{2}$

$x - 2 > \frac{3}{2} \lor x - 2 < - \frac{3}{2}$

$x > 3 \frac{1}{2} \lor x < \frac{1}{2}$

$x \in (- \infty, \frac{1}{2}) \cup (3 \frac{1}{2}, + \infty)$

$j)$

$3 - x^{2} + 10 x + 25 < - 8$

Zauważmy, że z lewej strony mamy liczbę nieujemną, ponieważ wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna.

Zatem jest to nierówność sprzeczna, brak rozwiązań.

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania optymalizacyjne - algebra (1)

Premium

10:36

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Działania na wyrażeniach algebraicznych – wyłączanie czynnika przed nawias

Premium

7:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

$a)$

$∣ ∣ x - 3 ∣ - 2 ∣ < 4$

$∣ x - 3 ∣ - 2 < 4 \land ∣ x - 3 ∣ - 2 > - 4$

$∣ x - 3 ∣ < 6 \land ∣ x - 3 ∣ > - 2$

$x - 3 < 6 \land x - 3 > - 6 \land x \in R$

$x < 9 \land x > - 3$

$x \in (- 3, 9)$

$b)$

$∣ ∣ x + 5 ∣ - 7 ∣ \leq 1$

$∣ x + 5 ∣ - 7 \leq 1 \land ∣ x + 5 ∣ - 7 \geq - 1$

$∣ x + 5 ∣ \leq 8 \land ∣ x + 5 ∣ \geq 6$

$(x + 5 \leq 8 \land x + 5 \geq - 8) \land (x + 5 \geq 6 \lor x + 5 \leq - 6)$

$(x \leq 3 \land x \geq - 13) \land (x \geq 1 \lor x \leq - 11)$

$x \in ⟨ - 13, 3 ⟩ \land x \in (- \infty, - 11 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

$x \in ⟨ - 13, - 11 ⟩ \cup ⟨ 1, 3 ⟩$

$c)$

$∣ 3 - ∣ x + 5 ∣ ∣ > 7$

$3 - ∣ x + 5 ∣ > 7 \lor 3 - ∣ x + 5 ∣ < - 7$

$- 4 > ∣ x + 5 ∣ \lor 10 < ∣ x + 5 ∣$

$x \in \emptyset \lor x + 5 > 10 \lor x + 5 < - 10$

$x > 5 \lor x < - 15$

$x \in (- \infty, - 15) \cup (5, + \infty)$

$d)$

$∣ 4 + ∣ x - 3 ∣ ∣ \geq 1$

$4 + ∣ x - 3 ∣ \geq 1 \lor 4 + ∣ x - 3 ∣ \leq - 1$

$∣ x - 3 ∣ \geq - 3 \lor ∣ x - 3 ∣ \leq - 5$

$x \in R \lor x \in \emptyset$

$x \in R$

$e)$

$∣ - ∣ 2 x + 1 ∣ + 4 ∣ \leq 8$

$∣ ∣ 2 x + 1 ∣ - 4 ∣ \leq 8$

$∣ 2 x + 1 ∣ - 4 \leq 8 \land ∣ 2 x + 1 ∣ - 4 \geq - 8$

$∣ 2 x + 1 ∣ \leq 12 \land ∣ 2 x + 1 ∣ \geq - 4$

$2 x + 1 \leq 12 \land 2 x + 1 \geq - 12 \land x \in R$

$2 x \leq 11 \land 2 x \geq - 13$

$x \leq \frac{11}{2} \land x \geq - \frac{13}{2}$

$x \in ⟨ - 6 \frac{1}{2}, 5 \frac{1}{2} ⟩$

$f)$

$∣ ∣ 3 - 2 x ∣ - 3 ∣ \leq 2$

$∣ 3 - 2 x ∣ - 3 \leq 2 \land ∣ 3 - 2 x ∣ - 3 \geq - 2$

$∣ 3 - 2 x ∣ \leq 5 \land ∣ 3 - 2 x ∣ \geq 1$

$(3 - 2 x \leq 5 \land 3 - 2 x \geq - 5) \land (3 - 2 x \geq 1 \lor 3 - 2 x \leq - 1)$

$(- 2 x \leq 2 \land - 2 x \geq - 8) \land (- 2 x \geq - 2 \lor - 2 x \leq - 4)$

$(x \geq - 1 \land x \leq 4) \land (x \leq 1 \lor x \geq 2)$

$x \in ⟨ - 1, 4 ⟩ \land x \in (- \infty, 1 ⟩ \cup ⟨ 2, + \infty)$

$x \in ⟨ - 1, 1 ⟩ \cup ⟨ 2, 4 ⟩$

$g)$

$5 - 16 x^{2} + 24 x + 9 \geq 2$

$5 - (4 x + 3)^{2} \geq 2$

$∣ 5 - | 4 x + 3 | ∣ \geq 2$

$5 - ∣ 4 x + 3 ∣ \geq 2 \lor 5 - ∣ 4 x + 3 ∣ \leq - 2$

$3 \geq ∣ 4 x + 3 ∣ \lor 7 \leq ∣ 4 x + 3 ∣$

$(4 x + 3 \leq 3 \land 4 x + 3 \geq - 3) \lor (4 x + 3 \geq 7 \lor 4 x + 3 \leq - 7)$

$(4 x \leq 0 \land 4 x \geq - 6) \lor (4 x \geq 4 \lor 4 x \leq - 10)$

$(x \leq 0 \land x \geq - \frac{3}{2}) \lor (x \geq 1 \lor x \leq - \frac{5}{2})$

$x \in ⟨ - \frac{3}{2}, 0 ⟩ \lor x \in (- \infty, - \frac{5}{2} ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

$x \in (- \infty, - 2 \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ - 1 \frac{1}{2}, 0 ⟩ \cup ⟨ 1, + \infty)$

$h)$

$2 x^{2} - 8 x + 16 - 6 \leq 4$

$2 (x - 4)^{2} - 6 \leq 4$

$∣ 2 ∣ x - 4 ∣ - 6 ∣ \leq 4$

$2 ∣ ∣ x - 4 ∣ - 3 ∣ \leq 4$

$∣ ∣ x - 4 ∣ - 3 ∣ \leq 2$

$∣ x - 4 ∣ - 3 \leq 2 \land ∣ x - 4 ∣ - 3 \geq - 2$

$∣ x - 4 ∣ \leq 5 \land ∣ x - 4 ∣ \geq 1$

$(x - 4 \leq 5 \land x - 4 \geq - 5) \land (x - 4 \geq 1 \lor x - 4 \leq - 1)$

$(x \leq 9 \land x \geq - 1) \land (x \geq 5 \lor x \leq 3)$

$x \in ⟨ - 1, 9 ⟩ \land x \in (- \infty, 3 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty)$

$x \in ⟨ - 1, 3 ⟩ \cup ⟨ 5, 9 ⟩$

$i)$

$2 3 - 5 x^{2} - 4 x + 4 > 9$

$2 3 - 5 (x - 2)^{2} > 9$

$2 ∣ 3 - 5 | x - 2 | ∣ > 9$

$2 (3 - 5 ∣ x - 2 ∣) > 9 \lor 2 (3 - 5 ∣ x - 2 ∣) < - 9$

$6 - 10 ∣ x - 2 ∣ > 9 \lor 6 - 10 ∣ x - 2 ∣ < - 9$

$- 10 ∣ x - 2 ∣ > 3 \lor - 10 ∣ x - 2 ∣ < - 15$

$∣ x - 2 ∣ < - \frac{3}{10} \lor ∣ x - 2 ∣ > \frac{15}{10}$

$x \in \emptyset \lor ∣ x - 2 ∣ > \frac{3}{2}$

$x - 2 > \frac{3}{2} \lor x - 2 < - \frac{3}{2}$

$x > 3 \frac{1}{2} \lor x < \frac{1}{2}$

$x \in (- \infty, \frac{1}{2}) \cup (3 \frac{1}{2}, + \infty)$

$j)$

$3 - x^{2} + 10 x + 25 < - 8$

Zauważmy, że z lewej strony mamy liczbę nieujemną, ponieważ wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna.

Zatem jest to nierówność sprzeczna, brak rozwiązań.

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki