a)
∣∣x−3∣−2∣<4
∣x−3∣−2<4 ∧ ∣x−3∣−2>−4
∣x−3∣<6 ∧ ∣x−3∣>−2
x−3<6 ∧ x−3>−6 ∧ x∈R
x<9 ∧ x>−3
x∈(−3,9)
b)
∣∣x+5∣−7∣≤1
∣x+5∣−7≤1 ∧ ∣x+5∣−7≥−1
∣x+5∣≤8 ∧ ∣x+5∣≥6
(x+5≤8 ∧ x+5≥−8) ∧ (x+5≥6 ∨ x+5≤−6)
(x≤3 ∧ x≥−13) ∧ (x≥1 ∨ x≤−11)
x∈⟨−13,3⟩ ∧ x∈(−∞,−11⟩∪⟨1,+∞)
x∈⟨−13,−11⟩∪⟨1,3⟩
c)
∣3−∣x+5∣∣>7
3−∣x+5∣>7 ∨ 3−∣x+5∣<−7
−4>∣x+5∣ ∨ 10<∣x+5∣
x∈∅ ∨ x+5>10 ∨ x+5<−10
x>5 ∨ x<−15
x∈(−∞,−15)∪(5,+∞)
d)
∣4+∣x−3∣∣≥1
4+∣x−3∣≥1 ∨ 4+∣x−3∣≤−1
∣x−3∣≥−3 ∨ ∣x−3∣≤−5
x∈R ∨ x∈∅
x∈R
e)
∣−∣2x+1∣+4∣≤8
∣∣2x+1∣−4∣≤8
∣2x+1∣−4≤8 ∧ ∣2x+1∣−4≥−8
∣2x+1∣≤12 ∧ ∣2x+1∣≥−4
2x+1≤12 ∧ 2x+1≥−12 ∧ x∈R
2x≤11 ∧ 2x≥−13
x≤211 ∧ x≥−213
x∈⟨−621,521⟩
f)
∣∣3−2x∣−3∣≤2
∣3−2x∣−3≤2 ∧ ∣3−2x∣−3≥−2
∣3−2x∣≤5 ∧ ∣3−2x∣≥1
(3−2x≤5 ∧ 3−2x≥−5) ∧ (3−2x≥1 ∨ 3−2x≤−1)
(−2x≤2 ∧ −2x≥−8) ∧ (−2x≥−2 ∨ −2x≤−4)
(x≥−1 ∧ x≤4) ∧ (x≤1 ∨ x≥2)
x∈⟨−1,4⟩ ∧ x∈(−∞,1⟩∪⟨2,+∞)
x∈⟨−1,1⟩∪⟨2,4⟩
g)
5−16x2+24x+9≥2
5−(4x+3)2≥2
∣5−|4x+3|∣≥2
5−∣4x+3∣≥2 ∨ 5−∣4x+3∣≤−2
3≥∣4x+3∣ ∨ 7≤∣4x+3∣
(4x+3≤3 ∧ 4x+3≥−3) ∨ (4x+3≥7 ∨ 4x+3≤−7)
(4x≤0 ∧ 4x≥−6) ∨ (4x≥4 ∨ 4x≤−10)
(x≤0 ∧ x≥−23) ∨ (x≥1 ∨ x≤−25)
x∈⟨−23,0⟩ ∨ x∈(−∞,−25⟩∪⟨1,+∞)
x∈(−∞,−221⟩∪⟨−121,0⟩∪⟨1,+∞)
h)
2x2−8x+16−6≤4
2(x−4)2−6≤4
∣2∣x−4∣−6∣≤4
2∣∣x−4∣−3∣≤4
∣∣x−4∣−3∣≤2
∣x−4∣−3≤2 ∧ ∣x−4∣−3≥−2
∣x−4∣≤5 ∧ ∣x−4∣≥1
(x−4≤5 ∧ x−4≥−5) ∧ (x−4≥1 ∨ x−4≤−1)
(x≤9 ∧ x≥−1) ∧ (x≥5 ∨ x≤3)
x∈⟨−1,9⟩ ∧ x∈(−∞,3⟩∪⟨5,+∞)
x∈⟨−1,3⟩∪⟨5,9⟩
i)
23−5x2−4x+4>9
23−5(x−2)2>9
2∣3−5|x−2|∣>9
2(3−5∣x−2∣)>9 ∨ 2(3−5∣x−2∣)<−9
6−10∣x−2∣>9 ∨ 6−10∣x−2∣<−9
−10∣x−2∣>3 ∨ −10∣x−2∣<−15
∣x−2∣<−103 ∨ ∣x−2∣>1015
x∈∅ ∨ ∣x−2∣>23
x−2>23 ∨ x−2<−23
x>321 ∨ x<21
x∈(−∞,21)∪(321,+∞)
j)
3−x2+10x+25<−8
Zauważmy, że z lewej strony mamy liczbę nieujemną, ponieważ wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna.
Zatem jest to nierówność sprzeczna, brak rozwiązań.
