$\text{a)}$  

$W\left(x\right)=x^4+25$  

Zauważmy, że pierwiastki wielomiany spełniają równanie

$$\begin{gathered} W\left(x\right)=0 \\ {x}^4+25=0 \\ {x}^4=-25 \end{gathered}$$

Żadna liczba rzeczywista nie spełnia tego równania, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do parzystej potęgi jest liczbą nieujemną. Zatem wielomian nie ma pierwiastka.

$W\left(x\right)=x^4+10x^2-10x^2+25={\left(x^2+5\right)}^2-10x^2=\left(x^2+5-\sqrt{10}x\right)\left(x^2+5+\sqrt{10}x\right)$  

---

$\text{b)}$  

$W\left(x\right)=x^4+16$  

Zauważmy, że pierwiastki wielomiany spełniają równanie

$$\begin{gathered} W\left(x\right)=0 \\ {x}^4+16=0 \\ {x}^4=-16 \end{gathered}$$

Żadna liczba rzeczywista nie spełnia tego równania, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do parzystej potęgi jest liczbą nieujemną. Zatem wielomian nie ma pierwiastka. 

$W\left(x\right)=x^4+8x^2-8x^2+16={\left(x^2+4\right)}^2-8x^2=\left(x^2+4-\sqrt{8}x\right)\left(x^2+4+\sqrt{8}x\right)$  

---

$\text{c)}$  

$W\left(x\right)=x^4+7x^2+16$  

Zauważmy, że pierwiastki wielomiany spełniają równanie

$$\begin{gathered} W\left(x\right)=0 \\ {x}^4+7x^2+16=0 \end{gathered}$$

Zastosujmy podstawienie

$t=x^2,t\ge 0$

Otrzymamy

$$\begin{gathered} t^2+7t+16=0 \\ {\Delta }_t=7^2-4\cdot 1\cdot 16=49-64=-15<0 \end{gathered}$$

Zatem to równanie nie ma rozwiązań, a co za tym idzie żadna liczba rzeczywista nie spełnia równania

$W\left(x\right)=0$

Zatem wielomian nie ma pierwiastka. 

$W\left(x\right)=x^4+8x^2-x^2+16={\left(x^2+4\right)}^2-x^2=\left(x^2+4-x\right)\left(x^2+4+x\right)$  

---

$\text{d)}$  

$W\left(x\right)=x^4+9x^2+81$  

Zauważmy, że pierwiastki wielomiany spełniają równanie

$$\begin{gathered} W\left(x\right)=0 \\ {x}^4+9x^2+81=0 \end{gathered}$$

Zastosujmy podstawienie

$t=x^2,t\ge 0$

Otrzymamy

$$\begin{gathered} t^2+9t+81=0 \\ {\Delta }_t=9^2-4\cdot 1\cdot 81=81-324=-243<0 \end{gathered}$$

Zatem to równanie nie ma rozwiązań, a co za tym idzie żadna liczba rzeczywista nie spełnia równania

$W\left(x\right)=0$

Zatem wielomian nie ma pierwiastka. 

$W\left(x\right)=x^4+18x^2-9x^2+81={\left(x^2+9\right)}^2-9x^2=\left(x^2+9-3x\right)\left(x^2+9+3x\right)$