Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$P_{ASD}=12$  

$P_{DSC}=8$  

Kąty ASB i DSC są wierzchołkowe, więc:

$\left|\sphericalangle ASB\right|=\left|\sphericalangle ASB\right|$  

Kąty CAB i SCD oraz kąty SBA i SDC są naprzemianległe, więc:

$\left|\sphericalangle CAB\right|=\left|\sphericalangle SCD\right|$  

$\left|\sphericalangle SBA\right|=\left|\sphericalangle SDC\right|$  

 

Na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty ABS i DSC są podobne, obliczmy skalę k tego podobieństwa:

Oznaczamy:

h- wysokość trójkąta ASD opuszczona z wierzchołka D i wysokość trójkąta DSC opuszczona z wierzchołka D

 

$P_{ASD}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot \left|AS\right|$  

Czyli:

$12=\frac{1}{2}\cdot h\cdot \left|AS\right|$  

$h\cdot \left|AS\right|=24$  

Oraz

$P_{DSC}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot \left|SC\right|$  

Czyli:

$8=\frac{1}{2}\cdot h\cdot \left|SC\right|$  

$h\cdot \left|SC\right|=16$  

Więc:

$k=\frac{h\cdot \left|AS\right|}{h\cdot \left|SC\right|}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$  

 

Obliczmy pole trójkąta ABS:

$\frac{P_{ABS}}{P_{DSC}}=k^2$  

$\frac{P_{ABS}}{8}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

$\frac{P_{ABS}}{8}=\frac{9}{4}$  

$P_{ABS}=18$  

 

Zauważmy, że:    

$P_{ABD}=P_{ABC}$  

ponieważ:

$P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|EF\right|\wedge P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|EF\right|$  

Wiemy również, że:

$P_{ABD}=P_{ASD}+P_{ABS}\wedge P_{ABC}=P_{ABS}+P_{BSC}$  

Zatem:

$P_{ASD}+P_{ABS}=P_{ABS}+P_{BSC}$  

$P_{ASD}=P_{BSC}$  

$12=P_{BSC}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$P_{ABCD}=P_{ABS}+P_{CDS}+P_{ADS}+P_{BCS}$  

$P_{ABCD}=18+8+12+12$  

$P_{ABCD}=50$