Przypomnijmy:

W dowolnym trójkącie prawdziwe są wzory:

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$  

$\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$  

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$  

gdzie:

$a,b,c$   - długości boków

$\alpha ,\beta ,\gamma$   - miary kątów naprzeciwko odpowiednich boków

---

$\text{a)}$  

Oznaczmy:

$a=5\text{cm},b=7\text{cm},c=8\text{cm}$  

Zatem otrzymujemy:   

$\cos \alpha =\frac{7^2+8^2-5^2}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}$  

Skoro  $0<\cos \alpha <1,$   to kąt  $\alpha$   to kąt ostry.

 

$\cos \beta =\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$  

Zatem:

$\beta ={60}^{\circ }$  

 

$\cos \gamma =\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{25+49-64}{70}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$  

Skoro  $0<\cos \gamma <1,$   to kąt  $\gamma$   to kąt ostry.

 

Zatem pokazaliśmy, że trójkąt o bokach 5 cm, 7 cm i 8 cm to trójkąt ostrokątny.

---

$\text{b)}$  

Oznaczmy:

$a=10\text{cm},b=7\text{cm},c=6\text{cm}$  

Zatem otrzymujemy:   

$\cos \alpha =\frac{7^2+6^2-{10}^2}{2\cdot 7\cdot 6}=\frac{49+36-100}{84}=-\frac{15}{84}$  

Zauważmy, że:

$\cos \alpha <0$  

Zatem kąt  $\alpha$   należy do drugiej ćwiartki, zatem jest to kąt rozwarty.