Rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej.

$x-3y+14=0$  

$-3y=-x-14$  

$y=\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}$  

Wierzchołek D należy do prostej k, zatem:

$D\left(x,\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\right)$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

${\left|AD\right|}^2+{\left|DC\right|}^2={\left|AC\right|}^2$  

$\sqrt{{\left(x-\left(-8\right)\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}-\left(-2\right)\right)}^2}+\sqrt{{\left(0-x\right)}^2+{\left(2-\left(\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(0-\left(-8\right)\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}{\mid }^2$  

${\left(x+8\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}+\frac{6}{3}\right)}^2+{\left(-x\right)}^2+{\left(\frac{6}{3}-\frac{1}{3}x-\frac{14}{3}\right)}^2=8^2+4^2$  

${\left(x+8\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}x+\frac{20}{3}\right)}^2+x^2+{\left(-\frac{1}{3}x-\frac{8}{3}\right)}^2=64+16$  

$x^2+16x+64+\frac{1}{9}{x}^2+2\cdot \frac{1}{3}x\cdot \frac{20}{3}+\frac{400}{9}+x^2+{\left(\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\right)}^2=80$  

$x^2+16x+64+\frac{1}{9}{x}^2+\frac{40}{9}x+\frac{400}{9}+x^2+\frac{1}{9}{x}^2+\frac{16}{9}x+\frac{64}{9}=80\mid \cdot 9$  

$9x^2+144x+576+x^2+40x+400+9x^2+x^2+16x+64-720=0$  

$20x^2+200x+320=0\mid :20$  

$x^2+10x+16=0$  

$\Delta ={10}^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36$  

$x_1=\frac{-10-6}{2}=\frac{-16}{2}=-8$  

$x_2=\frac{-10+6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

Zatem otrzymujemy:

$y_1=\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)+\frac{14}{3}=-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2$  

$y_2=\frac{1}{3}\cdot \left(-2\right)+\frac{14}{3}=-\frac{2}{3}+\frac{14}{2}=\frac{12}{3}=4$  

Zatem mamy:

$D_1\left(-8,2\right)\vee D_2\left(-2,4\right)$  

 

Przypadek I.

$D_1\left(-8,2\right)$  

Wyznaczmy współrzędne punktu $B_1\left(x,y\right).$  

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$  

$\left[x-\left(-8\right),y-\left(-2\right)\right]=\left[0-\left(-8\right),2-2\right]$  

$\left[x+8,y+2\right]=\left[8,0\right]$  

$x+8=8,y+2=0$  

$x=0,y=-2$  

$B_1\left(0,-2\right)$  

 

Przypadek II.

$D_2\left(-2,4\right)$  

Wyznaczmy współrzędne punktu $B_2\left(x,y\right).$  

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$  

$\left[x-\left(-8\right),y-\left(-2\right)\right]=\left[0-\left(-2\right),2-4\right]$  

$\left[x+8,y+2\right]=\left[2,-2\right]$  

$x+8=2,y+2=-2$  

$x=-6,y=-4$  

$B_1\left(-6,-4\right)$