Wiemy, że proste przecinają się w punkcie leżącym na osi OX, czyli w punkcie (x, 0).

Rysunek pomocniczy:

 

Zakładamy, że proste przecinające się są prostopadłe.

Zauważmy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =a$  

oraz

$\mathrm{tg}\beta =a_1$  

$\mathrm{tg}\left(\alpha +{90}^{\circ }\right)=a_1$  

$-\mathrm{ctg}\alpha =a_1$  

$-\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=a_1$  

$-\frac{1}{a}=a_1$  

$-1=a_1\cdot a$  

 

Następnie pokażemy dowód w drugą stronę.

Zakładamy, że spełniony jest warunek  $\mathbf{a}\cdot {\mathbf{a}}_1=-1.$  

Zatem otrzymujemy:

$\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\beta =-1$  

$\mathrm{tg}\beta =-\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$  

$\mathrm{tg}\beta =-\mathrm{ctg}\alpha$  

$\mathrm{tg}\beta =\mathrm{tg}\left({90}^{\circ }+\alpha \right)$  

$\beta ={90}^{\circ }+\alpha$  

$\beta -\alpha ={90}^{\circ }$  

Zatem pokazaliśmy, że kąt między tymi prostymi to kąt prosty, czyli są to proste prostopadłe.