Przyjmujemy:

$\overrightarrow{u}=\left[a,b\right]$  

$\overrightarrow{v}=\left[c,d\right]$  

$\overrightarrow{w}=\left[e,f\right]$  

 

$\text{Ad}1)$  

Rozpisując lewą stronę mamy:   

$L=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left[a,b\right]+\left[c,d\right]=\left[a+c,b+d\right]=\left[c,d\right]+\left[a,b\right]=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=P$  

 

$\text{Ad}2)$  

Rozpisując lewą stronę mamy:

$L=\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{w}=\left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)+\left[e,f\right]=\left[a+c,b+d\right]+\left[e,f\right]=$  

$=\left[a+c+e,b+d+f\right]=\left[a,b\right]+\left[c+e,d+f\right]=\left[a,b\right]+\left(\left[c,d\right]+\left[e,f\right]\right)=$  

$=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=P$  

 

$\text{Ad}3)$  

Rozpisując lewą stronę mamy:

$L=k\cdot \left(l\cdot \overrightarrow{u}\right)=k\cdot \left(l\cdot \left[a,b\right]\right)=k\cdot \left[la,lb\right]=\left[kla,klb\right]=$  

$=kl\cdot \left[a,b\right]=\left(kl\right)\cdot \overrightarrow{u}=P$  

 

$\text{Ad}4)$  

Rozpisując lewą stronę mamy:

$\left(k+l\right)\cdot u=\left(k+l\right)\cdot \left[a,b\right]=\left[\left(k+l\right)a,\left(k+l\right)b\right]=\left[ka+la,kb+lb\right]=$  

$=\left[ka,kb\right]+\left[la,lb\right]=k\cdot \left[a,b\right]+l\cdot \left[a,b\right]=k\cdot \overrightarrow{u}+l\cdot \overrightarrow{u}=P$  

 

$\text{Ad}5)$  

Rozpisując lewą stronę mamy:

$k\cdot \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\cdot \left(\left[a,b\right]+\left[c,d\right]\right)=k\cdot \left[a+c,b+d\right]=\left[ka+kc,kb+kd\right]=$  

$=\left[ka,kb\right]+\left[kc,kd\right]=k\cdot \left[a,b\right]+k\cdot \left[c,d\right]=k\cdot \overrightarrow{u}+k\cdot \overrightarrow{v}=P$  

 

Pokazaliśmy, że każda z pięciu równości jest prawdziwa, zatem udowodniliśmy twierdzenie 4.