Przypomnijmy:

1) Wektory  $\overrightarrow{u}$   i  $\overrightarrow{v},$    gdzie  $\overrightarrow{u}=\left[u_x,u_y\right],\overrightarrow{v}=\left[v_x,v_y\right]$   są równe wtedy, gdy  $u_x=v_x$   i  $u_y=v_y.$  

2) Wektory  $\overrightarrow{u}$   i  $\overrightarrow{v},$   gdzie  $\overrightarrow{u}=\left[u_x,u_y\right],\overrightarrow{v}=\left[v_x,v_y\right]$   są przeciwne wtedy, gdy suma wektorów  $\overrightarrow{u}$   i  $\overrightarrow{v}$   jest wektorem zerowym, tzn.

  $u_x+v_x=0$   oraz  $u_y+v_y=0.$  

3) Długością wektora  $\overrightarrow{u},$   gdzie  $\overrightarrow{u}=\left[u_x,u_y\right]$   nazywamy liczbę  $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.$  

4) Jeśli dla wektorów niezerowych  $\overrightarrow{u}$   i  $\overrightarrow{v}$   istnieje liczba rzeczywista a, dla której  $\overrightarrow{u}=a\cdot \overrightarrow{v},$   to wektory  $\overrightarrow{u}$   i  $\overrightarrow{v}$   nazwiemy wektorami równoległymi.

O wektorach równoległych mówimy, że mają ten sam kierunek. Jeśli dodatkowo a>0, to wektory  $\overrightarrow{u}$   i  $\overrightarrow{v}$   mają ten sam zwrot. Jeśli a<0, to wektory mają przeciwne zwroty.

---

Udowodnijmy Twierdzenie 1.

"=>"

Najpierw pokażemy, że jeśli wektory  $\overrightarrow{u}$   i  $\overrightarrow{v}$   są równe, to mają taką samą długość, są równoległe i mają ten sam zwrot.