$\text{a)}$  

$3\left|x\right|>x^2-x$  

 

Przypadek I.

$x\ge 0$  

Wtedy mamy:

$3x>x^2-x$  

$0>x^2-4x$  

$0>x\left(x-4\right)$  

$x\in \left(0,4\right)$  

 

Przypadek II.

$x<0$  

Wtedy mamy:

$-3x>x^2-x$  

$0>x^2+2x$  

$0>x\left(x+2\right)$  

$x\in \left(-2,0\right)$  

 

Łącząc powyższe przypadki mamy:

$x\in \left(-2,0\right)\cup \left(0,4\right)$  

---

$\text{b)}$  

$\left|x^2-1\right|\ge 1-x^2$  

$\left|x^2-1\right|\ge -\left(x^2-1\right)$  

Podstawmy  $x^2-1=t$  

$\left|t\right|\ge -t$  

Zatem nierówność jest spełniona dla  $t\in \mathbb{R}.$  

Wobec tego otrzymujemy:

$x\in \mathbb{R}$  

---

$\text{c)}$  

$\left|x^2-2x\right|<x^2+x+3$  

$\left|x\left(x-2\right)\right|<x^2+x+3$  

 

Przypadek I.

$x\in (-\infty ,0⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

Wtedy mamy:

$x^2-2x<x^2+x+3$  

$-3x<3$  

$x>-1$  

Zatem w rozpatrywanym przedziale otrzymujemy:

$x\in (-1,0⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

 

Przypadek II.

$x\in \left(0,2\right)$  

Wtedy mamy:

$-x^2+2x<x^2+x+3$  

$-2x^2+x-3<0$  

$2x^2-x+3>0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot 3<0$  

czyli funkcja kwadrtowa po lewej stronie nierówności nie ma miejsc zerowych i ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane "do góry". 

Oznacza to, że wykres tej funkcji znajduje się nad osią x. 

Powyższa nierówność jest więc prawdziwa w rozważanym przedziale, czyli dla 

$x\in \left(0,2\right)$  

 

Łącząc powyższe przypadki otrzymujemy:

$x\in \left(-1,+\infty \right)$  

---

$\text{d)}$  

$\left|x^2-4\right|-2x\le 4$  

$\left|\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right|-2x\le 4$  

 

Przypadek I.

$x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨2,+\infty )$  

Wtedy mamy:

$x^2-4-2x\le 4$  

$x^2-2x-8\le 0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$  

$x_1=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zatem otrzymujemy:

$x\in ⟨-2,4⟩$  

W rozpatrywanym przedziale mamy:

$x\in \left\{-2\right\}\cup ⟨2,4⟩$  

 

Przypadek II.

$x\in \left(-2,2\right)$  

Wtedy mamy:

$-x^2+4-2x\le 4$  

$-x^2-2x\le 0$  

$x^2+2x\ge 0$  

$x\left(x+2\right)\ge 0$  

$x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨0,+\infty )$  

W rozpatrywanym przedziale mamy:

$x\in ⟨0,2)$  

 

Łącząc powyższe przypadki mamy:

$x\in \left\{-2\right\}\cup ⟨0,4⟩$