$\text{a)}$  

$x=\sqrt{2-x}$  

Skoro z prawej strony znajduje się liczba nieujemna, to również z lewej strony musi być liczba nieujemna.

Zał:

$x\ge 0\wedge 2-x\ge 0$  

$x\ge 0\wedge 2\ge x$  

$x\in ⟨0,2⟩$  

 

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy:

$x^2=2-x$  

$x^2+x-2=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$x_1=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2\notin D$  

$x_2=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

---

$\text{b)}$  

$\sqrt{x^2-9}=x+1$  

Skoro z lewej strony znajduje się liczba nieujemna, to również z prawej strony musi być liczba nieujemna.

Zał:

$x^2-9\ge 0\wedge x+1\ge 0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ge 0\wedge x\ge -1$  

$x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨3,+\infty )\wedge x\in ⟨-1,+\infty )$  

$x\in ⟨3,+\infty )$  

 

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy:

$x^2-9={\left(x+1\right)}^2$  

$x^2-9=x^2+2x+1$  

$0=2x+10$  

$-2x=10$  

$x=-5\notin D$  

Zatem równanie nie ma rozwiązania.

---

$\text{c)}$  

$\sqrt{x+3}+x=9$  

$\sqrt{x+3}=9-x$  

Skoro z lewej strony znajduje się liczba nieujemna, to również z prawej strony musi być liczba nieujemna.

Zał:

$x+3\ge 0\wedge 9-x\ge 0$  

$x\ge -3\wedge 9\ge x$  

$x\in ⟨-3,9⟩$  

 

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy:

$x+3={\left(9-x\right)}^2$  

$x+3=81-18x+x^2$  

$0=x^2-19x+78$  

$\Delta ={\left(-19\right)}^2-4\cdot 1\cdot 78=361-312=49$  

$x_1=\frac{19-7}{2}=\frac{12}{2}=6$  

$x_2=\frac{19+7}{2}=\frac{26}{2}=13\notin D$  

---

$\text{d)}$  

$\sqrt{-x^2+5x-6}+2=x$  

$\sqrt{-x^2+5x-6}=x-2$  

Skoro z lewej strony znajduje się liczba nieujemna, to również z prawej strony musi być liczba nieujemna.

Zał:

$-x^2+5x-6\ge 0\wedge x-2\ge 0$  

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-6\right)=1\wedge x\ge 2$  

$x_1=\frac{-5-1}{-2},x_2=\frac{-5+1}{-2}\wedge x\in ⟨2,+\infty )$  

$x_1=3,x_2=2\wedge x\in ⟨2,+\infty )$  

$x\in ⟨2,3⟩\wedge x\in ⟨2,+\infty )$  

$x\in ⟨2,3⟩$  

 

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy:

$-x^2+5x-6={\left(x-2\right)}^2$  

$-x^2+5x-6=x^2-4x+4$  

$0=2x^2-9x+10$  

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 2\cdot 10=81-80=1$  

$x_1=\frac{9-1}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$  

$x_2=\frac{9+1}{2\cdot 2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$