Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos ADC=\frac{1}{8}$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:

${\sin }^{2}ADC+{\cos }^{2}ADC=1$  

${\sin }^{2}ADC+{\left(\frac{1}{8}\right)}^2=1$  

${\sin }^{2}ADC+\frac{1}{64}=1$  

${\sin }^{2}ADC=\frac{63}{64}$  

$\sin ADC=\frac{\sqrt{63}}{8}$  

$\sin ADC=\frac{3\sqrt{7}}{8}$  

---

$\text{a)}$  

$P_{ABC}=P_{ADC}+P_{DBC}$  

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \sin ADC+\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \sin \left({180}^{\circ }-ADC\right)$  

$P_{ABC}=30\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}+30\cdot \sin ADC$  

$P_{ABC}=\frac{90\sqrt{7}}{8}+30\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}$  

$P_{ABC}=\frac{90\sqrt{7}}{8}+\frac{90\sqrt{7}}{8}$  

$P_{ABC}=\frac{180\sqrt{7}}{8}$  

$P_{ABC}=\frac{45\sqrt{7}}{2}$  

---

$\text{b)}$  

Korzystając z tw. cosinusów dla trójkąta ADC otrzymujemy:

${\left|AC\right|}^2={10}^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot \frac{1}{8}$  

${\left|AC\right|}^2=100+36-15$  

${\left|AC\right|}^2=121$  

$\left|AC\right|=11$  

 

Zauważmy, że:

$P=p\cdot r$  

$\frac{90\sqrt{7}}{8}=\frac{11+10+6}{2}\cdot r$  

$\frac{45\sqrt{7}}{4}=\frac{27}{2}\cdot r\mid \cdot 4$  

$45\sqrt{7}=54\cdot r\mid :54$  

$\frac{45\sqrt{7}}{54}=r$  

$\frac{5\sqrt{7}}{6}=r$  

---

$\text{c)}$  

Korzystając z tw. cosinusów dla trójkąta DBC otrzymujemy:

${\left|BC\right|}^2={10}^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos \left({180}^{\circ }-ADC\right)$  

${\left|BC\right|}^2=100+36-120\cdot \left(-\cos ADC\right)$  

${\left|BC\right|}^2=136-120\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)$  

${\left|BC\right|}^2=136+15$  

${\left|BC\right|}^2=151$  

$\left|BC\right|=\sqrt{151}$  

 

Z tw. sinusów otrzymujemy:

$\frac{\left|BC\right|}{\sin ADC}=2R$  

$\frac{\sqrt{151}}{\frac{3\sqrt{7}}{8}}=2R$  

$\sqrt{151}\cdot \frac{8}{3\sqrt{7}}=2R\mid :2$  

$\sqrt{151}\cdot \frac{4}{3\sqrt{7}}=R$  

$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{151}{7}}=R$  

$\frac{4}{3}\sqrt{21\frac{4}{7}}\left[\text{cm}\right]=R$