$\text{a)}$  

Rysunek pomocniczy:

$P=\frac{1}{2}bc\cdot \sin \alpha$  

$6\sqrt{5}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \sin \alpha$  

$6\sqrt{5}=18\sin \alpha$  

$\frac{\sqrt{5}}{3}=\sin \alpha$  

Wyznaczmy  $\cos \alpha$   korzystając z jedynki trygonometrycznej.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{5}{9}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{4}{9}$  

$\cos \alpha =\frac{2}{3}\vee \cos \alpha =-\frac{2}{3}$  

 

Przypadek I.

$\cos \alpha =\frac{2}{3}$  

Wtedy z tw. cosinusów mamy:

$a^2=4^2+9^2-2\cdot 4\cdot 9\cdot \frac{2}{3}$  

$a^2=16+81-48$  

$a^2=49$  

$\underline{\underline{a=7}}$  

 

Zatem z tw. sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=2R$  

$\frac{7}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=2R$  

$7\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=2R$  

$\frac{21}{2\sqrt{5}}=R$  

$\underline{\underline{\frac{21\sqrt{5}}{10}=R}}$  

 

Przypadek II.

$\cos \alpha =-\frac{2}{3}$  

Wtedy z tw. cosinusów mamy:

$a^2=4^2+9^2-2\cdot 4\cdot 9\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)$  

$a^2=16+81+48$  

$a^2=145$  

$\underline{\underline{a=\sqrt{145}}}$  

 

Zatem z tw. sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=2R$  

$\frac{\sqrt{145}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=2R$  

$\frac{3\sqrt{145}}{\sqrt{5}}=2R$  

$3\sqrt{29}=2R$  

$\underline{\underline{\frac{3\sqrt{29}}{2}=R}}$  

---

$\text{b)}$  

Rysunek pomocniczy:

$P=\frac{1}{2}bc\cdot \sin \alpha$  

$4,5\sqrt{7}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{21}\cdot \sqrt{48}\cdot \sin \alpha \mid :\sqrt{7}$  

$4,5=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{48}\cdot \sin \alpha$  

$9=\sqrt{3\cdot 3\cdot 16}\cdot \sin \alpha$  

$9=12\cdot \sin \alpha$  

$\frac{9}{12}=\sin \alpha$  

$\frac{3}{4}=\sin \alpha$  

Wyznaczmy  $\cos \alpha$   korzystając z jedynki trygonometrycznej.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{3}{4}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{9}{16}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{7}{16}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}\vee \cos \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}$  

 

 

Przypadek I.

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$  

Wtedy z tw. cosinusów mamy:

$a^2={\sqrt{21}}^2+{\sqrt{48}}^2-2\cdot \sqrt{21}\cdot \sqrt{48}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$  

$a^2=21+48-2\cdot \sqrt{7\cdot 3}\cdot \sqrt{3\cdot 16}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$  

$a^2=21+48-2\cdot 7\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{1}{4}$  

$a^2=21+48-42$  

$a^2=27$  

$\underline{\underline{a=3\sqrt{3}}}$  

 

Zatem z tw. sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=2R$  

$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{3}{4}}=2R$  

$3\sqrt{3}\cdot \frac{4}{3}=2R$  

$\frac{4\sqrt{3}}{2}=R$  

$\underline{\underline{2\sqrt{3}=R}}$  

 

 

Przypadek II.

$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}$  

Wtedy z tw. cosinusów mamy:

$a^2={\sqrt{21}}^2+{\sqrt{48}}^2-2\cdot \sqrt{21}\cdot \sqrt{48}\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)$  

$a^2=21+48-2\cdot \sqrt{7\cdot 3}\cdot \sqrt{3\cdot 16}\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)$  

$a^2=21+48+2\cdot 7\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{1}{4}$  

$a^2=21+48+42$  

$a^2=111$  

$\underline{\underline{a=\sqrt{111}}}$  

 

Zatem z tw. sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=2R$  

$\frac{\sqrt{111}}{\frac{3}{4}}=2R$  

$\frac{4\sqrt{111}}{3}=2R$  

$\frac{4\sqrt{111}}{6}=R$  

$\underline{\underline{\frac{2\sqrt{111}}{3}=R}}$