$\text{a)}$  

Rozpisując lewą stronę równości mamy:

$L=1-2{\sin }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\left({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \right)\cdot 1=$      

$=\left({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \right)\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)={\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =P$  

Zatem pokazaliśmy, że jest to tożsamość trygonometryczna.

---

$\text{b)}$  

Rozpisując lewą stronę równości mamy:

$L=\left(1-\cos \alpha \right)\left(1+\cos \alpha \right)=1^2-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha =$  

$={\sin }^2\alpha \cdot 1={\sin }^2\alpha \cdot \left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)={\sin }^4\alpha +{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =P$  

Zatem pokazaliśmy, że jest to tożsamość trygonometryczna.

---

$\text{c)}$  

Zał:

$\cos \alpha \ne 0,\sin \alpha \ne 0$  

 

Rozpisując lewą stronę równości mamy:

$L=\left(\mathrm{ctg}\alpha -1\right)\left(\mathrm{tg}\alpha +1\right)=\mathrm{ctg}\alpha \mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha -1=1+\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha -1=$  

$=\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha =P$  

Zatem pokazaliśmy, że jest to tożsamość trygonometryczna.

---

$\text{d)}$  

Zał:

$\mathrm{tg}\alpha \ne 0,\mathrm{ctg}\alpha \ne 0$

 

Rozpisując lewą stronę równości mamy:

$L=\frac{{\sin }^2\alpha }{\mathrm{tg}\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{\mathrm{ctg}\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}+\frac{{\cos }^2\alpha }{\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\frac{{\sin }^2\alpha \cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha \sin \alpha }{\cos \alpha }=$  

$=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =P$   

Zatem pokazaliśmy, że jest to tożsamość trygonometryczna.