Zauważmy, że:

$\left|BP\right|=\left|PA\right|$  

Zatem trójkąt BPA to trójkąt równoramienny. 

Oznaczmy:

$\left|\sphericalangle ABP\right|=\left|\sphericalangle BAP\right|=\alpha$  

$\left|\sphericalangle BPA\right|={180}^{\circ }-2\alpha$  

 

Zauważmy, że:

$\left|AP\right|=\left|PC\right|$  

Zatem trójkąt APC to trójkąt równoramienny.

Oznaczmy:

$\left|\sphericalangle ACP\right|=\left|\sphericalangle PAC\right|=\beta$  

$\left|\sphericalangle BPA\right|={180}^{\circ }-2\beta$  

 

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle BPA\right|+\left|\sphericalangle APC\right|={180}^{\circ }$  

${180}^{\circ }-2\alpha +{180}^{\circ }-2\beta ={180}^{\circ }$  

${180}^{\circ }=2\alpha +2\beta$  

${90}^{\circ }=\alpha +\beta$  

 

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle BAP\right|+\left|\sphericalangle PAC\right|=\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

Zatem pokazaliśmy, że kąt BAC to kąt prosty.