Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że trójkąt ABC to trójkąt równoramienny, zatem:

$\left|AC\right|=\left|BC\right|$  

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|$  

 

Oznaczmy:

Niech

$\left|AD\right|=s_1$

$\left|BE\right|=s_2$   

 

Zauważmy, że aby pokazać, że  $s_1=s_2$   wystarczy pokazać, że trójkąty ABE i ABD są przystające.

 

Rozważmy trójkąty ABE i ABD. 

Zauważmy, że skoro trójkąt ABC jest równoramienny, to ma równe kąty przy podstawie, czyli dostajemy, że

$\left|\sphericalangle EAB\right|=\left|\sphericalangle DBA\right|$  

dalej wiemy, że 

$\left|AC\right|=\left|BC\right|$

oraz, że punkty E i D są środkami boków odpowiednio AC i BC, stąd wynika, że

$\left|AE\right|=\left|BD\right|=b,b>0$  

dodatkowo bok AB = a jest bokiem wspólnym obu trójkątów.   

Otrzymujemy zatem, że w trójkącie ABE między bokiem AE o długości b i bokiem AB o długości a leży kąt o mierze α.

 

W trójkącie ABD między bokiem BD o długości b i bokiem AB o długości a również mamy kąt równy α.

Zatem na podstawie cechy przystawania bok-kąt-bok (bkb), trójkąty ABE i ABD są przystające,

stąd wynika, że odpowiednie boki są równej długości

$\left|AD\right|=\left|BE\right|$  

czyli

$s_1=s_2$  

Zatem środkowe AD i BE są równej długości, co należało pokazać.