I metoda

Obliczmy długości promieni, a następnie wyznaczmy ich stosunek.

Rysunek pomocniczy:

Wprowadźmy oznaczenie:

$\left|AB\right|=c$   

Obliczmy długość przeciwprostokątnej:

$c^2=5^2+{12}^2$  

$c^2=25+144$  

$c^2=169$  

$c=13$  

 

---

Zauważmy, że trójkąty ABC, DAC i CBD są podobne (korzystamy z cechy kąt-kąt-kąt).

Możemy więc zapisać (z podobieństwa ABC i ACD):

$\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{\left|AD\right|}{5}=\frac{5}{13}$  

$\left|AD\right|=\frac{25}{13}$  

 

---

$\frac{\left|DC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{\left|DC\right|}{5}=\frac{12}{13}$  

$\left|DC\right|=\frac{60}{13}$  

 

---

Pole trójkąta ADC:

$P_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{60}{13}\cdot \frac{25}{13}=\frac{750}{169}$  

Pole możemy obliczyć na drugi sposób:

$P_{ADC}=\frac{L_{ADC}}{2}\cdot r_{ADC}$  

L - obwód trójkąta

r - promień okręgu wpisanego w trójkąt

A więc:

$\frac{750}{169}=\frac{\frac{60}{13}+\frac{25}{13}+5}{2}\cdot r_{ADC}$  

$\frac{1500}{169}=\frac{150}{13}\cdot r_{ADC}\mid \cdot 13$  

$\frac{1500}{13}=150\cdot r_{ADC}\mid :150$  

$r_{ADC}=\frac{10}{13}$  

 

---

Analogicznie postąpimy w przypadku trójkąta CBD.  

$\left|BD\right|=13-\left|AD\right|=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$   

$P_{CBD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{144}{13}\cdot \frac{60}{13}=\frac{4320}{169}$  

$P_{CBD}=\frac{L_{CBD}}{2}\cdot r_{CBD}$   

$\frac{4320}{169}=\frac{\frac{144}{13}+\frac{60}{13}+12}{2}\cdot r_{CBD}\mid \cdot 2$    

$\frac{8640}{169}=\frac{360}{13}\cdot r_{CBD}\mid \cdot 13$    

$\frac{8640}{13}=360\cdot r_{CBD}\mid :360$   

$r_{CBD}=\frac{24}{13}$     

 

Stosunek promieni jest więc równy:

$\frac{r_{ADC}}{r_{CBD}}=\frac{\frac{10}{13}}{\frac{24}{13}}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$        

 

        

---

---

II metoda

Na podstawie cechy kąt-kąt-kąt możemy stwierdzić, że trójkąty CBD i DAC są podobne. Ich skala podobieństwa jest równa stosunkowi długości ich przeciwprostokątnych, i jest równa stosunkowi promieni okręgów wpisanych w te trójkąty.

$\frac{r_2}{r_1}=k=\frac{5}{12}$