a)

Liczba jest podzielna przez $3$, kiedy jej suma cyfr jest podzielna przez $3$.

Obliczmy sumę cyfr liczby $232323$:

$2+3+2+3+2+3=15$

Liczba $15$ jest podzielna przez $3$, a więc liczba $232323$ też jest podzielna przez $3$.

---

b) 

Przykład innej liczby zbudowanej w ten sposób: 

$121212$

Obliczmy sumę cyfr tej liczby:

$1+2+1+2+1+2=9$ 

Liczba $9$ jest podzielna przez $3$, a więc cała liczba jest podzielna przez $3$.

---

c)

Tak, każda liczba zapisana w ten sposób jest podzielna przez $3$.

Zauważmy, że każdą taką liczbę możemy zapisać następująco:

$\square ◊\square ◊\square ◊$   

 Obliczmy sumę jej cyfr (pamiętajmy, że dodawanie jest przemienne - a więc składniki możemy zapisywać w dowolnej kolejności):

$\square +\square +\square +◊+◊+◊=3\cdot \square +3\cdot ◊$  

Suma cyfr jest sumą trzykrotności pewnej liczby ($\square$) oraz trzykrotności innej liczby ($◊$) - a więc ich suma jest podzielna przez $3$ - a zatem cała liczba również jest podzielna przez $3$.