Z treści zadania wiemy, że $\left|AC\right|=\left|BC\right|$, a więc trójkąt $ABC$ jest równoramienny. Możemy zatem zapisać:

$\alpha =\beta$    

Suma miar kątów w trójkącie jest zawsze równa $180^{\circ }$, stąd:

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

$\alpha +\alpha +\gamma ={180}^{\circ }$   

$2\alpha +\gamma ={180}^{\circ }$    

Kąt $\beta$ oraz kąt $\gamma +{70}^{\circ }$ tworzą parę kątów przyległych, a więc:

$\beta +\gamma +{70}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +\gamma +{70}^{\circ }={180}^{\circ }\mid -\left(\gamma +{70}^{\circ }\right)$   

$\alpha ={110}^{\circ }-\gamma$       

Podstawmy wyznaczoną wartość $\alpha$ do poprzedniego równania: 

$2\alpha +\gamma ={180}^{\circ }$    

$2\cdot \left({110}^{\circ }-\gamma \right)+\gamma ={180}^{\circ }$  

${220}^{\circ }-2\gamma +\gamma ={180}^{\circ }$  

$-\gamma =-{40}^{\circ }\mid :\left(-1\right)$   

$\gamma ={40}^{\circ }$   

Obliczmy miary kątów $\alpha$ i $\beta$:

$\alpha ={110}^{\circ }-{40}^{\circ }={70}^{\circ }$  

$\beta =\alpha ={70}^{\circ }$  

---

W trójkącie najkrótszy bok leży naprzeciwko kąta o najmniejszej mierze - a więc bok $AB$ jest najkrótszy.

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

---

Wiemy, że:

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\alpha ={70}^{\circ }$  

Kąt zewnętrzny przyległy do tego kąta ma miarę:

${180}^{\circ }-{70}^{\circ }={110}^{\circ }\ne 140^{\circ }$

Drugie zdanie jest fałszywe.

---

Odp. PF