Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)...- Zadanie 7: MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$f (x) = lo g_{2} (x + 1) + 2 lo g_{4} (x^{2} + 2 x - 1)$

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, a więc:

$x + 1 > 0$

$x > - 1$

$x^{2} + 2 x - 1 > 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 4 + 4 = 8$

$Δ = 22$

$x_{1} = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1} = - 1 - 2$

$x_{2} = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1} = - 1 + 2$

$x \in (- \infty; - 1 - 2) \cup (- 1 + 2; \infty)$

Dziedziną jest więc zbiór:

$D = (- 1 + 2; \infty)$

$lo g_{2} (x + 1) = \frac{lo g _{4} ( x + 1 )}{lo g _{4} 2} = \frac{lo g _{4} ( x + 1 )}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot lo g_{4} (x + 1) = lo g_{4} (x + 1)^{2}$

$f (x) = lo g_{4} (x + 1)^{2} + 2 \cdot lo g_{4} (x^{2} + 2 x - 1) = lo g_{4} (x + 1)^{2} + lo g_{4} (x^{2} + 2 x - 1)^{2} = lo g_{4} ((x + 1)^{2} \cdot (x^{2} + 2 x - 1)^{2})$

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$lo g_{4} ((x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x - 1))^{2} = 0$

$2 \cdot lo g_{4} ((x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x - 1)) = 0 ∣ : 2$

$lo g_{4} ((x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x - 1)) = 0$

$lo g_{4} ((x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x - 1)) = 0 \cdot lo g_{4} 4$

$lo g_{4} ((x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x - 1)) = lo g_{4} 4^{0}$

$lo g_{4} ((x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x - 1)) = lo g_{4} 1$

$(x + 1) \cdot (x^{2} + 2 x - 1) = 1$

$x^{3} + 2 x^{2} - x + x^{2} + 2 x - 1 = 1$

$x^{3} + 3 x^{2} + x - 2 = 0$

$x^{3} + 2 x^{2} + x^{2} + 2 x - x - 2 = 0$

$x^{2} (x + 2) + x (x + 2) - (x + 2) = 0$

$(x + 2) \cdot (x^{2} + x - 1) = 0$

$x_{1} = - 2$ - nie należy do dziedziny.

Lub:

$x^{2} + x - 1 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 1 + 4 = 5$

$x = \frac{- 1 - 5}{2}$ - nie należy do dziedziny

$\underline{x = \frac{- 1 + 5}{2}}$

Łukasz Solarz

Nauczyciel matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Reguła mnożenia (1)

Premium

11:05

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.