$a$   - długość przyprostokątnej trójkąta ABC

$a\sqrt{2}$   - długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC

$L=8+4\sqrt{2}$   - obwód trójkąta ABC

 

Obliczmy długość boku:

$a+a+a\sqrt{2}=8+4\sqrt{2}$  

$2a+a\sqrt{2}=8+4\sqrt{2}$  

$a\left(2+\sqrt{2}\right)=8+4\sqrt{2}\mid :\left(2+\sqrt{2}\right)$  

$a=\frac{8+4\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\left(8+4\sqrt{2}\right)\cdot \left(2-\sqrt{2}\right)}{4-2}=\frac{16-8\sqrt{2}+8\sqrt{2}-8}{2}=\frac{8}{2}=4$   

  

 

Szkic pomocniczy:

$P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$   - wzór na pole trójkąta, gdzie  a, b, c to długości boków, a r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wyznaczmy z tego wzoru promień:

$r=\frac{2P}{a+b+c}$   

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADB:

$x^2=2^2+4^2$  

$x^2=4+16$  

$x^2=20$  

$x=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$  

 

Pole trójkąta ADB:

$P_{ADB}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$       

 

Promień okręgu wpisanego w trójkąt ADB:

$r_{ADB}=\frac{2\cdot 4}{4+2+2\sqrt{5}}=\frac{8}{6+2\sqrt{5}}=\frac{4}{3+\sqrt{5}}\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\frac{4\left(3-\sqrt{5}\right)}{9-5}=3-\sqrt{5}$    

 

Pole trójkąta BCD:

$P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$  

 

Promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD:

$r_{BCD}=\frac{2\cdot 4}{2+2\sqrt{5}+4\sqrt{2}}=\frac{8}{2+2\sqrt{5}+4\sqrt{2}}=\frac{4}{1+\left(\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)}\cdot \frac{1-\left(\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)}{1-\left(\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}=$  

 

$=\frac{4\cdot \left(1-\left(\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\right)}{1^2-{\left(\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)}^2}=$  

 

$=\frac{4-4\sqrt{5}-8\sqrt{2}}{1-5-4\sqrt{10}-8}=$  

 

$=\frac{4-4\sqrt{5}-8\sqrt{2}}{-12-4\sqrt{10}}=$    

   

$=\frac{-1+\sqrt{5}+2\sqrt{2}}{3+\sqrt{10}}\cdot \frac{3-\sqrt{10}}{3-\sqrt{10}}=$  

 

$=\frac{\left(-1+\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\cdot \left(3-\sqrt{10}\right)}{9-10}=$  

 

$=\frac{-3+\sqrt{10}+3\sqrt{5}-\sqrt{50}+6\sqrt{2}-2\sqrt{20}}{-1}=$  

 

$=3-\sqrt{10}-3\sqrt{5}+\sqrt{50}-6\sqrt{2}+2\sqrt{20}=$  

 

$=3-\sqrt{10}-3\sqrt{5}+5\sqrt{2}-6\sqrt{2}+4\sqrt{5}=$  

      

$=3-\sqrt{10}-\sqrt{2}+\sqrt{5}$  

      

 

Obliczmy stosunek tych promieni:

$\frac{r_{BCD}}{r_{DAB}}=\frac{3-\sqrt{10}-\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{10}-\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\cdot \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=$  

 

$=\frac{\left(3-\sqrt{10}-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}=$  

 

$=\frac{9+3\sqrt{5}-3\sqrt{10}-\sqrt{50}-3\sqrt{2}-\sqrt{10}+3\sqrt{5}+5}{9-5}=$  

 

$=\frac{14+3\sqrt{5}-3\sqrt{10}-5\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{4}=$  

 

$=\frac{14-8\sqrt{2}-4\sqrt{10}+6\sqrt{5}}{4}=$  

 

$=\frac{7-4\sqrt{2}-2\sqrt{10}+3\sqrt{5}}{2}$  

 

Uwaga!

W odpowiedziach z tyłu zbioru zadań podany został stosunek  $\frac{r_{DAB}}{r_{BCD}}$   - a więc stosunek odwrotny do szukanego.