a)

$\sin \alpha -\mathrm{tg}\alpha <0$   

 

$\sin \alpha -\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$  

 

$\sin \alpha \left(1-\frac{1}{\cos \alpha }\right)<0$  

 

Kąt  $\alpha$   jest kątem ostrym, a więc  $\sin \alpha >0$  .

Kąt  $\alpha$   jest kątem ostrym, a więc funkcja  $\cos \alpha$   przyjmuje wartości z przedziału  $\cos \alpha \in \left(0,1\right)$   - oznacza to, że wartość liczby  $\frac{1}{\cos \alpha }$   jest na pewno większa od 1 - a zatem wyrażenie w nawiasie jest ujemne.

$\frac{1}{\cos \alpha }>1\Rightarrow 0>1-\frac{1}{\cos \alpha }$  

  

Iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną, a więc nierówność jest prawdziwa.

 

b)

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{8}{9}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{9}$  

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$    

 

Obliczmy wartość danego wyrażenia:

${\cos }^3\alpha +\cos \alpha \cdot {\sin }^2\alpha =\cos \alpha \cdot \left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$