Dana jest nierówność:

$\left(mx-3\right)\left(x-2\right)<-m$  

Zapiszmy podaną nierówność w innej postaci:

$m{x}^2-2mx-3x+6<-m$  

$m{x}^2+\left(-2m-3\right)x+6+m<0$  

 

1) Sprawdźmy czy istnieje rozwiązanie tej nierówności dla:

$m=0$  

$0-3x+6+0<0$  

$-3x+6<0$  

$-3x<-6$  

$x>2$  

Jeśli podana nierówność będzie liniowa (czyli postaci ax+b<0) to istnieje nieskończenie wiele rozwiązań. 

 

2) Sprawdźmy czy istnieje rozwiązanie tej nierówności dla:

$m\ne 0$  

Podana nierówność jest wówczas kwadratowa i nie ma rozwiązania jeśli zachodzi warunek:

$\Delta <0$  

$\Delta ={\left(-2m-3\right)}^2-4m\cdot \left(6+m\right)=4m^2+12m+9-24m-4m^2=-12m+9$  

zatem:

$-12m+9<0$  

$-12m<-9$  

$m>\frac{9}{12}$  

$m>\frac{3}{4}$  

 

Odp.: Podana nierówność nie ma rozwiązania dla  $m\in \left(\frac{3}{4},+\infty \right)$ .