a)

${\log }_2\left(3x+5\right)-{\log }_2\left(1-x\right)=1$  

Liczba logarytmowana musi być dodatnia, a więc:

$3x+5>0\text{ oraz }1-x>0$  

$3x>-5\text{ oraz }-x>-1$  

$x>-\frac{5}{3}\text{ oraz }x<1$    

$x\in \left(-\frac{5}{3};1\right)$     

  

${\log }_2\left(3x+5\right)-{\log }_2\left(1-x\right)=1$   

${\log }_2\left(\frac{3x+5}{1-x}\right)={\log }_{2}2$  

$\frac{3x+5}{1-x}=2$  

$3x+5=2\left(1-x\right)$  

$3x+5=2-2x$  

$5x=-3$  

$x=-\frac{3}{5}$      

 

 

b)

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x^2-16>0\wedge x^2+16>0$  

$x^2>16\mid \sqrt{}\wedge \underset{\text{nieroˊwnosˊcˊ zawsze spełniona}}{\underbrace{x^2>-16}}$  

$\left|x\right|>4$  

$x>4\vee x<-4$  

$x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

$D=\left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

---

Rozwiązujemy równanie:

$\log \left(x^2-16\right)-2=2\log 3-\log \left(x^2+16\right)$  

$\log \left(x^2-16\right)-\log 100=\log 9-\log \left(x^2+16\right)$  

$\log \left(\frac{x^2-16}{100}\right)=\log \left(\frac{9}{x^2+16}\right)$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$\frac{x^2-16}{100}=\frac{9}{x^2+16}\mid \cdot 100\left(x^2+16\right)$  

$\left(x^2-16\right)\left(x^2+16\right)=900$  

$x^4-256=900$  

$x^4=1156$  

${\left(x^2\right)}^2={34}^2$  

$x^2=34\vee \underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{\underbrace{x^2=-34}}$  

$x=\sqrt{34}\in D\vee x=-\sqrt{34}\in D$  

---

$\text{Odp.}x=-\sqrt{34}\vee x=\sqrt{34}.$