a) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x+4>0$  

$x>-4$  

$D=\left(-4,+\infty \right)$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_2\left(x+4\right)=3$  

${\log }_2\left(x+4\right)=3{\log }_{2}2$  

${\log }_2\left(x+4\right)={\log }_2{2}^3$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$x+4=2^3$  

$x+4=8$  

$x=4\in D$  

Rozwiązaniem równania jest liczba 4.

---

b) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$2x+1>0\wedge 3x+5>0$  

$2x>-1\wedge 3x>-5$  

$x>-\frac{1}{2}\wedge x>-\frac{5}{3}$  

$D=\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_7\left(2x+1\right)={\log }_7\left(3x+5\right)$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$2x+1=3x+5$  

$-x=4\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x=-4\notin D$  

Równanie nie ma rozwiązań.

---

c) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x-5>0\wedge 4x+3>0$  

$x>5\wedge 4x>-3$  

$x>5\wedge x>-\frac{3}{4}$  

$D=\left(5,+\infty \right)$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_3\left(x-5\right)-{\log }_3\left(4x+3\right)=0$  

${\log }_3\left(x-5\right)={\log }_3\left(4x+3\right)$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$x-5=4x+3$  

$-3x=8\mid :\left(-3\right)$  

$x=-\frac{8}{3}\notin D$  

Równanie nie ma rozwiązań.

---

d) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$4x-7>0\wedge 3-2x>0$  

$4x>7\wedge -2x>-3$  

$x>\frac{7}{4}\wedge x<\frac{3}{2}$  

$x>1\frac{3}{4}\wedge x<1\frac{1}{2}$  

$x\in \varnothing$  

Dziedziną równania jest zbiór pusty, więc równanie nie ma rozwiązań.

---

e) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x^2-3x+2>0\wedge 2x-4>0$  

$\left(x-1\right)\left(x-2\right)>0\wedge 2x>4$  

$x\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)\wedge x>2$  

$D=\left(2,+\infty \right)$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_2\left(x^2-3x+2\right)={\log }_2\left(2x-4\right)$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$x^2-3x+2=2x-4$  

$x^2-5x+6=0$  

$x=2\notin D\vee x=3\in D$  

Rozwiązaniem równania jest liczba 3.

---

f) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$2x^2-4x>0\wedge \underset{\Delta <0}{\underbrace{x^2+x+6}}>0$  

$x^2-2x>0\wedge x\in \mathbf{R}$  

$x\left(x-2\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

$D=\left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

Rozwiązujemy równanie:

$\log \left(2x^2-4x\right)=\log \left(x^2+x+6\right)$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$2x^2-4x=x^2+x+6$  

$x^2-5x-6=0$  

$x=-1\in D\vee x=6\in D$  

Rozwiązaniami równania są liczby -1 oraz 6.

---

g) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x^2-12>0\wedge x-2>0$  

$x^2>12\mid \sqrt{}\wedge x>2$  

$\left|x\right|>2\sqrt{3}\wedge x>2$  

$\left(x>2\sqrt{3}\vee x<-2\sqrt{3}\right)\wedge x>2$  

$D=\left(2\sqrt{3},+\infty \right)$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_6\left(x^2-12\right)={\log }_6\left(x-2\right)+1$  

${\log }_6\left(x^2-12\right)={\log }_6\left(x-2\right)+{\log }_{6}6$  

${\log }_6\left(x^2-12\right)={\log }_6\left(\left(x-2\right)\cdot 6\right)$  

${\log }_6\left(x^2-12\right)={\log }_6\left(6x-12\right)$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$x^2-12=6x-12$  

$x^2-6x=0$  

$x\left(x-6\right)=0$  

$x=0\notin D\vee x=6\in D$  

Rozwiązaniem równania jest liczba 6.

---

h) Wyznaczamy dziedzinę równania:

$\left|x^3-27\right|>0\wedge \left|x-3\right|>0$  

$x^3-27\ne 0\wedge x-3\ne 0$  

$x^3\ne 27\wedge x\ne 3$  

$x\ne 3\wedge x\ne 3$  

$D=\mathbf{R}-\left\{3\right\}$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{13}\left|x^3-27\right|-{\log }_{13}\left|x-3\right|=1$  

${\log }_{13}\frac{\left|x^3-27\right|}{\left|x-3\right|}=1$   

${\log }_{13}\left|\frac{x^3-27}{x-3}\right|=1$  

${\log }_{13}\left|\frac{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{x-3}\right|=1$  

${\log }_{13}\left|x^2+3x+9\right|={\log }_{13}13$  

Porównujemy liczby logarytmowane.

$\left|x^2+3x+9\right|=13$  

Wyrażenie x²+3x+9 jest dodatnie dla każdego argumentu x, bo wyróżnik trójmianu jest ujemny, a współczynnik przy x² jest dodatni. Dzięki temu możemy opuścić wartość bezwzględną po lewej stronie równania.

$x^2+3x+9=13$  

$x^2+3x-4=0$  

$x=-4\in D\vee x=1\in D$  

Rozwiązaniami równania są liczby -4 oraz 1.