Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że prostokąty KBCL i ABCD są podobne, zatem:

$\frac{a}{b}=k$  

czyli:

$b=\frac{a}{k}$  

oraz:

$\frac{b}{b+a}=k$  

zatem:

$\frac{\frac{a}{k}}{\frac{a}{k}+a}=k$  

$\frac{\frac{a}{k}}{\frac{a+ak}{k}}=k$  

$\frac{a}{k}\cdot \frac{k}{a+ak}=k$  

$\frac{a}{a\left(1+k\right)}=k$  

$\frac{1}{1+k}=k\mid \cdot \left(1+k\right)$  

$1=k\left(1+k\right)$  

$k^2+k-1=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5,\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$  

$k_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0$  

$k_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}>0$  

 

Skala musi być liczbą dodatnią, zatem  $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$