$a)f\left(x\right)=2x^2-4x$  

Obliczamy wartości funkcji w kilku punktach, aby narysować wykres

$f\left(-2\right)=2\cdot {\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)=2\cdot 4+8=8+8=16$  

$f\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)=2\cdot 1+4=2+4=6$  

$f\left(-0\right)=2\cdot 0^2-4\cdot 0=0$  

$f\left(1\right)=2\cdot 1^2-4\cdot 1=2-4=-2$  

$f\left(2\right)=2\cdot 2^2-4\cdot 2=2\cdot 4-8=8-8=0$

$f\left(3\right)=2\cdot 3^2-4\cdot 3=2\cdot 9-12=18-12=6$   

 

lub obliczamy wielkości przydatne przy rysowaniu paraboli

miejsca zerowe:

$2x^2-4x=0\mid :2$

$x^2-2x=0$

$x\left(x-2\right)=0$

$x=0$  lub  $x=2$  

$\left(0,0\right)$ ,  $\left(2,0\right)$ , 

współrzędne wierzchołka:

$p=\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$  

$f\left(p\right)=f\left(1\right)=2\cdot 1^2-4\cdot 1=2-4=-2$  

$\left(1,-2\right)$ ,

współrzędne punktu przecięcia z osią  $y$

$y=2\cdot 0^2-4\cdot 0$

$y=0$   

$\left(0,0\right)$ .

 

 

Własności funkcji:

• dziedziną jest zbiór   $\mathbb{R}$ ,
• zbiorem wartości jest przedział   $⟨-2,\infty )$ , 
• funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $-2$  dla $x=1$  i nie przyjmuje wartości największej,
• miejscami zerowymi funkcji są argumenty $x=0$  i $x=2$ ,
• $f\left(x\right)>0$  dla $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,\infty \right)$ , $f\left(x\right)<0$  dla $x\in \left(0,2\right)$ ,
• osią symetrii wykresu jest prosta $x=1$ ,
• funkcja jest malejąca w przedziale   $(-\infty ,1⟩$ ,
  funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨1,\infty )$ ,
• równanie   $f\left(x\right)=m$   
  dla $m\in \left(-\infty ,-2\right)$  nie ma rozwiązań,
  dla $m=2$  ma jedno rozwiązanie,
  dla $m\in \left(-2,\infty \right)$  ma dwa rozwiązania. 

---

$b)f\left(x\right)=-x^2+4x-5$  

Obliczamy wielkości przydatne przy rysowaniu paraboli

miejsca zerowe:

$-x^2+4x-5=0$

  $\Delta =4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-5\right)=16-20=-4<0$  

brak miejsc zerowych,

współrzędne wierzchołka:

$p=\frac{-4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-4}{-2}=\frac{4}{2}=2$  

$f\left(p\right)=f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2-5=-4+8-5=-1$  

$\left(2,-1\right)$ ,

współrzędne punktu przecięcia z osią  $y$

$y=-0^2+4\cdot 0-5$

$y=-5$  

$\left(0,-5\right)$ .

 

 

Własności funkcji:

• dziedziną jest zbiór $\mathbb{R}$ , 
• zbiorem wartości jest przedział $(-\infty ,-1⟩$ ,  
• funkcja przyjmuje wartość największą równą $-1$  dla $x=2$  i nie przyjmuje wartości najmniejszej,
• funkcja nie ma miejsc zerowych ,
• $f\left(x\right)<0$  dla  $x\in \mathbb{R}$ ,
• osią symetrii wykresu jest prosta $x=2$  ,
• funkcja jest rosnąca w przedziale   $(-\infty ,2⟩$ ,
  funkcja jest malejąca w przedziale $⟨2,\infty )$ ,
• równanie   $f\left(x\right)=m$   
  dla $m\in \left(-\infty ,-1\right)$  ma dwa rozwiązania,
  dla $m=-1$  ma jedno rozwiązanie,
  dla $m\in \left(-1,\infty \right)$  nie ma rozwiązań.

---

$c)f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+2x-6$  

Obliczamy wielkości przydatne przy rysowaniu paraboli

miejsca zerowe:

$\frac{1}{2}{x}^2+2x-6=0$

$\Delta =2^2-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-6\right)=4+12=16$  

$x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{-2-4}{1}=-6$  

$x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{-2+4}{1}=2$  

$\left(-6,0\right)$ , $\left(2,0\right)$ ,

współrzędne wierzchołka:

$p=\frac{-2}{2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{-2}{1}=-2$  

$f\left(p\right)=f\left(-2\right)=\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)-6=\frac{1}{2}\cdot 4-4-6=2-10=-8$  

$\left(-2,-8\right)$ ,

współrzędne punktu przecięcia z osią  $y$

$y=\frac{1}{2}\cdot 0^2+2\cdot 0-6$

$y=-6$  

$\left(0,-6\right)$ .

 

 

Własności funkcji:

• dziedziną jest zbiór $\mathbb{R}$ , 
• zbiorem wartości jest przedział $⟨-8,\infty )$ ,  
• funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą $-8$  dla $x=-2$  i nie przyjmuje wartości największej,
• miejscami zerowymi funkcji są argumenty $x=-6$  i $x=2$  ,
• $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(-\infty ,-6\right)\cup \left(2,\infty \right)$ , $f\left(x\right)<0$  dla $x\in \left(-6,2\right)$ , 
• osią symetrii wykresu jest prosta $x=-2$  ,
• funkcja jest malejąca w przedziale   $(-\infty ,-2⟩$ ,    
  funkcja jest rosnąca w przedziale $⟨-2,\infty )$ ,
• równanie   $f\left(x\right)=m$   
• dla $m\in \left(-\infty ,-8\right)$  nie ma rozwiązań,
  dla $m=-8$  ma jedno rozwiązanie,
  dla $m\in \left(-8,\infty \right)$  ma dwa rozwiązania.

---

$d)f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x-\frac{9}{4}$  

Obliczamy wielkości przydatne przy rysowaniu paraboli

miejsca zerowe:

$-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x-\frac{9}{4}=0\mid \cdot 4$

$-x^2-6x-9=0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-9\right)=36-36=0$  

$x_0=\frac{-\left(-6\right)}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{6}{-2}=-3$  

$\left(-3,0\right)$ ,

współrzędne wierzchołka:

$p=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)}{2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{2}{4}}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)=-3$  

$f\left(p\right)=f\left(-3\right)=-\frac{1}{4}\cdot {\left(-3\right)}^2-\frac{3}{2}\cdot \left(-3\right)-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}\cdot 9+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}+\frac{18}{4}-\frac{9}{4}=0$  

$\left(3,0\right)$  ,

współrzędne punktu przecięcia z osią  $y$

$y=-\frac{1}{4}\cdot 0^2-\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{9}{4}$  

$y=-\frac{9}{4}=-2\frac{1}{4}$  

$\left(0,-2\frac{1}{4}\right)$ .

 

 

Własności funkcji:

• dziedziną jest zbiór $\mathbb{R}$ , 
• zbiorem wartości jest przedział $(-\infty ,0⟩$ ,  
• funkcja przyjmuje wartość największą równą $0$  dla $x=-3$  i nie przyjmuje wartości najmniejszej,
• miejscem zerowym funkcji jest argument  $x=-3$ ,
• $f\left(x\right)<0$  dla  $x\in \mathbb{R}\text{/}\left\{-3\right\}$ ,
• osią symetrii wykresu jest prosta $x=-3$ ,
• funkcja jest rosnąca w przedziale   $(-\infty ,-3⟩$ ,
  funkcja jest malejąca w przedziale $⟨-3,\infty )$ ,
• równanie   $f\left(x\right)=m$   
  dla $m\in \left(-\infty ,0\right)$  ma dwa rozwiązania,
  dla $m=0$  ma jedno rozwiązanie,
  dla $m\in \left(0,\infty \right)$  nie ma rozwiązań.