Punkty przecięcia z osią  $x$  mają współrzędne  $\left(x,0\right)$ .

 

Przypomnijmy, że wierzchołek paraboli o równaniu $y=a{x}^2+bx+c$ , $a\ne 0$ , ma współrzędne:

$p=\frac{-b}{2a}$ , $q=\frac{-\Delta }{4a}$ ,  gdzie $\Delta =b^2-4ac$ . 

 

Punkty przecięcia z osią  $y$  mają współrzędne  $\left(0,y\right)$ .

 

   $a)f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-2x$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe, czyli punkty przecięcia z osią  $x$ , do równania w miejsce  $y$  

podstawiamy liczbę  $0$

$\frac{1}{4}{x}^2-2x=0$

$x\left(\frac{1}{4}x-2\right)=0$

$a\cdot b=0$  wtedy i tylko wtedy, gdy $a=0$  lub $b=0$

$x=0$

lub 

$\frac{1}{4}x-2=0\mid \cdot 4$

$x-8=0\mid +8$

$x=8$  

Miejsca zerowe:  $x=0$ ,  $x=8$ .

 

Teraz wyznaczymy współrzędne w wierzchołka.

Współczynniki:  $a=\frac{1}{4}$ , $b=-2$ , $c=0$

$p=\frac{-\left(-2\right)}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{2}{\frac{2}{4}}=2\cdot \frac{4}{2}=\frac{8}{2}=4$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\cdot 0=4$

  $q=\frac{-4}{4\cdot \left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{-4}{1}=-4$

Wierzchołek $W$  ma współrzędne  $\left(4,-4\right)$ .

 

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia paraboli z osią  $y$ , do równania w miejsce  $x$  

podstawiamy liczbę  $0$

$y=\left(\frac{1}{4}\right)\cdot 0^2-2\cdot 0$

$y=0$

Punkt  $P$  ma współrzędne  $\left(0,0\right)$ .

 

---

$b)f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-2x+5$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe, czyli punkty przecięcia z osią  $x$ , do równania w miejsce  $y$  

podstawiamy liczbę  $0$

$\frac{1}{2}{x}^2-2x+5=0\mid \cdot 2$

$x^2-4x+10=0$

Współczynniki:  $a=1$ , $b=-4$ , $c=10$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 10=16-40=-24<0$  - równanie nie ma rozwiązania.

Miejsca zerowe: brak.

 

Teraz wyznaczymy współrzędne w wierzchołka.

Współczynniki:  $a=\frac{1}{2}$ , $b=-2$ , $c=5$

$p=\frac{-\left(-2\right)}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{2}{1}=2$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\cdot 5=4-\frac{20}{2}=4-10=-6$

  $q=\frac{-\left(-6\right)}{4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{6}{\frac{4}{2}}=\frac{6}{2}=3$

Wierzchołek $W$  ma współrzędne  $\left(2,3\right)$ .

 

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia paraboli z osią  $y$ , do równania w miejsce  $x$  

podstawiamy liczbę  $0$

$y=\frac{1}{2}\cdot 0^2-2\cdot 0+5$

$y=5$

Punkt  $P$  ma współrzędne  $\left(0,5\right)$ .

 

---

  $c)f\left(x\right)=-2x^2-4x+6$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe, czyli punkty przecięcia z osią  $x$ , w miejsce  $y$  

podstawiamy liczbę  $0$    

$-2x^2-4x+6=0\mid \cdot \left(-1\right)$

$2x^2+4x-6=0$

$2\left(x^2+2x-3\right)=0\mid :2$  

$x^2+2x-3=0$

Współczynniki:  $a=1$ ,  $b=2$ ,  $c=-3$

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16>0$

$x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{\left(2\cdot 1\right)}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-\frac{6}{3}=-3$  

$x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{\left(2\cdot 1\right)}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Miejsca zerowe:  $x=-3$ , $x=1$ .

 

Teraz wyznaczymy współrzędne w wierzchołka.

Współczynniki:  $a=-2$ ,  $b=-4$ ,  $c=6$

$p=\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{4}{-4}=-1$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 6=16+48=64$

  $q=\frac{-64}{4\cdot \left(-2\right)}=\frac{-64}{-8}=\frac{64}{8}=8$

Wierzchołek $W$  ma współrzędne  $\left(-1,8\right)$ .

 

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia paraboli z osią  $y$ , w miejsce  $x$  

podstawiamy liczbę  $0$       

$y=-2\cdot 0^2-4\cdot 0+6$

$y=6$

Punkt  $P$  ma współrzędne  $\left(0,6\right)$ .

 

---

$d)f\left(x\right)=-x^2-x+\frac{15}{4}$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe, czyli punkty przecięcia z osią  $x$ , w miejsce  $y$  

podstawiamy liczbę  $0$    

$-x^2-x+\frac{15}{4}=0\mid \cdot 4$

$-4x^2-4x+15=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$4x^2+4x-15=0$

Współczynniki:  $a=4$ , $b=4$ , $c=-15$

$\Delta =4^2-4\cdot 4\cdot \left(-15\right)=16+240=256>$  - równanie ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-4-\sqrt{256}}{\left(2\cdot 4\right)}=\frac{-4-16}{8}=\frac{20}{8}=-\frac{20}{8}=-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{-4+\sqrt{256}}{\left(2\cdot 4\right)}=\frac{-4+16}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$  

Miejsca zerowe:  $x=-2\frac{1}{2}$ , $x=1\frac{1}{2}$ .

 

Teraz wyznaczymy współrzędne w wierzchołka.

Współczynniki:  $a=-1$ ,  $b=-1$ ,  $c=\frac{15}{4}$

$p=\frac{-\left(-1\right)}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{1}{-1}=-\frac{1}{2}$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(\frac{15}{4}\right)=1+\frac{60}{4}=\frac{4}{4}+\frac{60}{4}=\frac{4+60}{4}=\frac{64}{4}=16$

  $q=\frac{-16}{4\cdot \left(-1\right)}=\frac{-16}{-4}=\frac{16}{4}=4$

Wierzchołek $W$  ma współrzędne  $\left(-\frac{1}{2},4\right)$ .

 

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia paraboli z osią  $y$ , w miejsce  $x$  

podstawiamy liczbę  $0$          

$y=-0^2-0+\frac{15}{4}=0$

$y=\frac{15}{4}$

Punkt   $P$   ma współrzędne  $\left(0,\frac{15}{4}\right)$ .