Równanie $a{x}^2+bx+c=0$ , $a\ne 0$  

• nie ma pierwiastków wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta <0$ ,
  
  
• ma jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta =0$ ,
  
  
• ma dwa pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta >0$ .

$\Delta =b^2-4ac$  

$a)$    $3x^2-5x+1=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=25-12=13>0$  - równanie ma dwa rozwiązania.  

---

$b)$    $x^2-2\sqrt{3}x+3=0$  

$\Delta ={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=12-12=0$  - równanie ma jedno rozwiązanie. 

---

$c)$    $7x^2-3x+10=0$   

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 7\cdot 10=9-280=-271<0$  - równanie nie ma rozwiązania. 

---

$d)$    $5x^2+x-1=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 5\cdot \left(-1\right)=1+20=21>0$  - równanie ma dwa rozwiązania. 

---

$e)$    $-2x^2+5x-8=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-8\right)=25-64=-39<0$  - równanie nie ma rozwiązania. 

---

$f)$    $-4x^2+20x-25=0$  

$\Delta ={\left(20\right)}^2-4\cdot \left(-4\right)\cdot \left(-25\right)=400-400=0$  - równanie ma jedno rozwiązanie.