a)

$-1<\cos \alpha <1$  

 

$3\cos \alpha +2\sqrt{2}=0$  

 

$3\cos \alpha =-2\sqrt{2}\mid :3$  

 

$\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

 

$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}>-1$    

 

Istnieje taki kąt.

 

b)

$\alpha \in \left(0^{\circ };{180}^{\circ }\right)$  

$0<\sin \alpha <1$  

 

$5\sin \alpha =\sqrt{3}-2\mid :5$  

 

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}-2}{5}$  

 

Zauważmy, że:  $\sqrt{3}-2<0$  , a więc prawa strona wyrażenia jest ujemna - a więc nie istnieje kąt wypukły spełniający to równanie.

 

c)

$\sin \alpha \in \left(0;1\right)$  

$\cos \alpha \in \left(-1;1\right)$  

 

$\sin \alpha +\cos \alpha =2$  

Aby powyższy warunek był spełniony, prawdziwe musiałyby być równości:

$\sin \alpha =1,$   wtedy szukany kąt musiałby mieć miarę  $\alpha ={90}^{\circ }$   

$\cos \alpha =1\Rightarrow \alpha =0^{\circ }\text{lub }\alpha ={180}^{\circ }$  

Kąt  $\alpha$   nie może przyjmować jednocześnie dwóch różnych wartości, a więc otrzymaliśmy sprzeczność.

Taki kąt nie istnieje.

 

d)

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\sqrt{3}\mid {\left(\right)}^2$  

 

${\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha =3$  

 

Zauważmy, że  ${\sin }^2\alpha \in (0,1⟩$  , oraz  ${\cos }^2\alpha \in ⟨0,1⟩$  , a więc  ${\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha \in (0;1⟩$  , a więc powyższe wyrażenie nie jest prawdziwe dla żadnego kąta.

Nie istnieje taki kąt.

 

e)

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha =0$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, kiedy któryś z czynników jest równy 0.

$\sin \alpha =0$  , wtedy  $\alpha =0^{\circ },$   lub  $\alpha ={180}^{\circ }$   - wtedy jednak nasz kąt nie będzie wypukły.

$\cos \alpha =0,$   wtedy  $\alpha ={90}^{\circ }$  

Istnieje taki kąt.

 

f)

$\mathrm{tg}a\alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{1}{2}$  

 

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \cos \alpha =-\frac{1}{2}$  

 

$\sin \alpha =-\frac{1}{2}$  

Jeżeli szukany kąt jest wypukły, to funkcja  $\sin \alpha$   przyjmuje tylko wartości dodatnie - a więc taki kąt nie istnieje.