Wykonaj działania. Podaj...- Zadanie 8.10: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

a) Założenia:

$x^{2} + x - 2 \neq = 0 i x^{2} + 3 x + 2 \neq = 0 i x^{2} - 1 \neq = 0 i x + 2 \neq = 0 i \frac{x}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x + 2} \neq = 0$

Upraszczamy ostatnie wyrażenie:

$\frac{x}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 1 )}{( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + 2 x - x ^{2} + 1}{( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{2 x + 1}{( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 )}$

Powyższy ułamek może być równy zero tylko wtedy, gdy licznik jest równy zero, więc ostatni warunek jest równy temu, że 2x+1≠0.

Wracamy do ustalania założeń.

$(x + 2) (x - 1) \neq = 0 i (x + 2) (x + 1) \neq = 0 i (x - 1) (x + 1) \neq = 0 i x + 2 \neq = 0 i 2 x + 1 \neq = 0$

$x \neq = - 2 i x \neq = 1 i x \neq = - 1 i x \neq = - \frac{1}{2}$

Wykonujemy działania:

$(\frac{3}{x ^{2} + x - 2} + \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2}) : (\frac{x}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x + 2}) = \frac{3 ( x ^{2} + 3 x + 2 ) + ( x ^{2} + x - 2 )}{( x ^{2} + x - 2 ) ( x ^{2} + 3 x + 2 )} : \frac{2 x + 1}{( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{3 x ^{2} + 9 x + 6 + x ^{2} + x - 2}{( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 )}{2 x + 1} = \frac{4 x ^{2} + 10 x + 4}{( x + 2 ) ^{2} ( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 )}{2 x + 1} = \frac{4 x ^{2} + 10 x + 4}{( x + 2 ) ( 2 x + 1 )} = \dots$

Zamieniamy trójmian 4x²+10x+4 na postać iloczynową.

$Δ = 100 - 64 = 36, Δ = 6$

$x = \frac{- 10 - 6}{8} = - 2 lub x = \frac{- 10 + 6}{8} = - \frac{1}{2}$

$4 x^{2} + 10 x + 4 = 4 (x + 2) (x + \frac{1}{2}) = 2 (x + 2) (2 x + 1)$

Wracamy do obliczeń:

$\dots = \frac{2 ( x + 2 ) ( 2 x + 1 )}{( x + 2 ) ( 2 x + 1 )} = 2$

b) Założenia:

$4 x^{2} + 4 x + 1 \neq = 0 i 4 x^{2} - 1 \neq = 0 i 3 x^{2} + 6 x \neq = 0 i 2 x - 1 \neq = 0$

$(2 x + 1)^{2} \neq = 0 i (2 x - 1) (2 x + 1) \neq = 0 i 3 x (x + 2) \neq = 0 i 2 x - 1 \neq = 0$

$2 x + 1 \neq = 0 i 2 x - 1 \neq = 0 i 3 x \neq = 0 i x + 2 \neq = 0$

$x \neq = - \frac{1}{2} i x \neq = \frac{1}{2} i x \neq = 0 i x \neq = - 2$

Wykonujemy działania:

$[(\frac{x + 2}{4 x ^{2} + 4 x + 1} + \frac{x + 2}{4 x ^{2} - 1}) \cdot \frac{4 x + 2}{3 x ^{2} + 6 x} - \frac{4}{2 x - 1}] \cdot (4 x + 2) = [(\frac{x + 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}} + \frac{x + 2}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}) \cdot \frac{2 ( 2 x + 1 )}{3 x ( x + 2 )} - \frac{4}{2 x - 1}] \cdot (4 x + 2) = [(\frac{( x + 2 ) ( 2 x - 1 )}{( 2 x + 1 ) ^{2} ( 2 x - 1 )} + \frac{( x + 2 ) ( 2 x + 1 )}{( 2 x + 1 ) ^{2} ( 2 x - 1 )}) \cdot \frac{2 ( 2 x + 1 )}{3 x ( x + 2 )} - \frac{4}{2 x - 1}] \cdot (4 x + 2) = [\frac{( x + 2 ) ( 2 x - 12 x + 1 )}{( 2 x + 1 ) ^{2} ( 2 x - 1 )} \cdot \frac{2 \cdot ( 2 x + 1 )}{3 x ( x + 2 )} - \frac{4}{2 x - 1}] \cdot (4 x + 2) = [\frac{4 x}{( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 )} \cdot \frac{2}{3 x} - \frac{4}{2 x - 1}] \cdot (4 x + 2) = [\frac{8}{3 ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 )} - \frac{4 \cdot ( 3 ( 2 x + 1 ) )}{3 \cdot ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 )}] \cdot (4 x + 2) = \frac{8 - 12 ( 2 x + 1 )}{3 ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 )} \cdot (4 x + 2) = \frac{8 - 24 x - 12}{3 \cdot ( 2 x - 1 )} \cdot 2 = \frac{- 8 - 48 x}{3 ( 2 x - 1 )} = \frac{- 8 ( 1 + 6 x )}{3 ( 2 x - 1 )}$

c) Założenia:

$3 x - 3 \neq = 0 i 3 x^{2} - 3 \neq = 0 i 3 x + 3 \neq = 0$

$x - 1 \neq = 0 i x^{2} - 1 \neq = 0 i x + 1 \neq = 0$

$x - 1 \neq = 0 i (x - 1) (x + 1) \neq = 0 i x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 1 i x \neq = - 1$

Wykonujemy działania:

$(\frac{x + 1}{3 x - 3} - \frac{4}{3 x ^{2} - 3} - \frac{x + 10}{3 x + 3}) \cdot \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{7} = (\frac{x + 1}{3 ( x - 1 )} - \frac{4}{3 ( x ^{2} - 1 )} - \frac{x + 10}{3 ( x + 1 )}) \cdot \frac{( x + 1 ) ^{2}}{7} = (\frac{( x + 1 ) ^{2}}{3 ( x ^{2} - 1 )} - \frac{4}{3 ( x ^{2} - 1 )} - \frac{( x + 10 ) ( x - 1 )}{3 ( x ^{2} - 1 )}) \cdot \frac{( x + 1 ) ^{2}}{7} = \frac{( x + 1 ) ^{2} - 4 - ( x + 10 ) ( x - 1 )}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{( x + 1 ) ^{2}}{7} = \frac{x ^{2} + 2 x + 1 - 4 - x ^{2} - 9 x + 10}{3 ( x - 1 )} \cdot \frac{x + 1}{7} = \frac{- 7 x + 7}{3 ( x - 1 )} \cdot \frac{x + 1}{7} = \frac{- 7 ( x - 1 )}{3 ( x - 1 )} \cdot \frac{x + 1}{7} = - \frac{x + 1}{3}$

d) Założenia:

$1 - 5 x \neq = 0 i 5 x + 1 \neq = 0 i 1 - 10 x + 25 x^{2} \neq = 0 i 5 x - 1 \neq = 0 i 15 x + 12 \neq = 0$

$5 x \neq = 1 i 5 x \neq = - 1 i (1 - 5 x)^{2} \neq = 0 i 5 x \neq = 1 i 15 x \neq = - 12$

$x \neq = \frac{1}{5} i x \neq = - \frac{1}{5} i x \neq = - \frac{4}{5}$

Wykonujemy działania:

$[(\frac{5 x}{1 - 5 x} + \frac{3 x}{5 x + 1}) : \frac{15 x + 12}{1 - 10 x + 25 x ^{2}}] \cdot \frac{3}{5 x - 1} = [(\frac{- 5 x}{5 x - 1} + \frac{3 x}{5 x + 1}) : \frac{3 ( 5 x + 4 )}{( 5 x - 1 ) ^{2}}] \cdot \frac{3}{5 x - 1} = \frac{- 5 x ( 5 x + 1 ) + 3 x ( 5 x - 1 )}{( 5 x - 1 ) ( 5 x + 1 )} \cdot \frac{( 5 x - 1 ) ^{2}}{3 ( 5 x + 4 )} \cdot \frac{3}{5 x - 1} = \frac{- 25 x ^{2} - 5 x + 15 x ^{2} - 3 x}{5 x + 1} \cdot \frac{5 x - 1}{3 ( 5 x + 4 )} \cdot \frac{3}{5 x - 1} = \frac{- 10 x ^{2} - 8 x}{5 x + 1} \cdot \frac{1}{5 x + 4} = \frac{- 2 x ( 5 x + 4 )}{5 x + 1} \cdot \frac{1}{5 x + 4} = \frac{- 2 x}{5 x + 1}$