Wykonaj działania...- Zadanie 8.4: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a) \frac{2 x}{x - 3} + \frac{7}{3 - x}$

Założenia:

$x - 3 \neq = 0 i 3 - x \neq = 0$

$x \neq = 3$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{2 x}{x - 3} + \frac{7}{3 - x} = \frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 7}{x - 3} = \frac{2 x - 7}{x - 3}$

$b) \frac{x + 5}{3 x - 1} + \frac{2 - 4 x}{1 - 3 x}$

Założenia:

$3 x - 1 \neq = 0 i 1 - 3 x \neq = 0$

$x \neq = \frac{1}{3}$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{x + 5}{3 x - 1} + \frac{2 - 4 x}{1 - 3 x} = \frac{x + 5}{3 x - 1} + \frac{- ( 2 - 4 x )}{3 x - 1} = \frac{x + 5 - 2 + 4 x}{3 x - 1} = \frac{5 x + 3}{3 x - 1}$

$c) \frac{x + 3}{2 x - 7} + \frac{x + 2}{7 - 2 x}$

Założenia:

$2 x - 7 \neq = 0 i 7 - 2 x \neq = 0$

$x \neq = \frac{7}{2}$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{x + 3}{2 x - 7} + \frac{x + 2}{7 - 2 x} = \frac{x + 3}{2 x - 7} + \frac{- ( x + 2 )}{2 x - 7} = \frac{x + 3 - x - 2}{2 x - 7} = \frac{1}{2 x - 7}$

$d) \frac{1}{3 x - 1} - \frac{2}{3 - 9 x}$

Założenia:

$3 x - 1 \neq = 0 i 3 - 9 x \neq = 0$

$x \neq = \frac{1}{3}$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{1}{3 x - 1} - \frac{2}{3 - 9 x} = \frac{- 3}{3 - 9 x} - \frac{2}{3 - 9 x} = \frac{- 3 - 2}{3 - 9 x} = \frac{- 5}{3 - 9 x}$

$e) \frac{x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} + \frac{3}{4 x - 4}$

Założenia:

$x^{2} - 2 x + 1 \neq = 0 i 4 x - 4 \neq = 0$

$(x - 1)^{2} \neq = 0 i x - 1 \neq = 0$

$x \neq = 1$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} + \frac{3}{4 x - 4} = \frac{4 ( x + 1 )}{4 ( x - 1 ) ^{2}} + \frac{3 ( x - 1 )}{4 ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{4 x + 4 + 3 x - 3}{4 ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{7 x + 1}{4 ( x - 1 ) ^{2}}$

$f) \frac{2 x + 1}{3 x ^{2} - 12} - \frac{x - 1}{2 x ^{2} + 4 x}$

Założenia:

$3 x^{2} - 12 \neq = 0 i 2 x^{2} + 4 x \neq = 0$

$x^{2} - 4 \neq = 0 i x^{2} + 2 x \neq = 0$

$(x - 2) (x + 2) \neq = 0 i x (x + 2) \neq = 0$

$x - 2 \neq = 0 i x + 2 \neq = 0 i x \neq = 0$

$x \neq = 2 i x \neq = - 2 i x \neq = 0$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{2 x + 1}{3 x ^{2} - 12} - \frac{x - 1}{2 x ^{2} + 4 x} = \frac{( 2 x + 1 ) \cdot 2 x}{3 \cdot 2 x ( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{( x - 1 ) \cdot 3 ( x - 2 )}{3 \cdot 2 x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{4 x ^{2} + 2 x - ( x - 1 ) ( 3 x - 6 )}{6 x ( x - 2 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{4 x ^{2} + 2 x - ( 3 x ^{2} - 6 x - 3 x + 6 )}{6 x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{4 x ^{2} + 2 x - 3 x ^{2} + 6 x + 3 x - 6}{6 x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + 11 x - 6}{6 x ( x - 2 ) ( x + 2 )}$

$g) \frac{x - 2}{x ^{2} - 6 x + 9} + \frac{x + 2}{9 - x ^{2}}$

Założenia:

$x^{2} - 6 x + 9 \neq = 0 i 9 - x^{2} \neq = 0$

$(x - 3)^{2} \neq = 0 i (3 - x) (3 + x) \neq = 0$

$x - 3 \neq = 0 i 3 - x \neq = 0 i 3 + x \neq = 0$

$x \neq = 3 i x \neq = 3 i x \neq = - 3$

$x \neq = 3 i x \neq = - 3$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{x - 2}{x ^{2} - 6 x + 9} + \frac{x + 2}{9 - x ^{2}} = \frac{x - 2}{( x - 3 ) ^{2}} + \frac{x + 2}{( 3 - x ) ( 3 + x )} = \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} + \frac{- ( x - 3 ) ( x + 2 )}{- ( 3 - x ) ( 3 + x ) ( x - 3 )} =$

$= \frac{x ^{2} + 3 x - 2 x - 6}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} - \frac{x ^{2} + 2 x - 3 x - 6}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{x ^{2} + x - 6 - x ^{2} + x + 6}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{2 x}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}$

$h) \frac{2 x - 8}{x ^{2} - 8 x + 16} - \frac{3 x - 16}{2 x ^{2} - 32}$

Założenia:

$x^{2} - 8 x + 16 \neq = 0 i 2 x^{2} - 32 \neq = 0$

$(x - 4)^{2} \neq = 0 i x^{2} - 16 \neq = 0$

$x - 4 \neq = 0 i (x - 4) (x + 4) \neq = 0$

$x \neq = 4 i x - 4 \neq = 0 i x + 4 \neq = 0$

$x \neq = 4 i x \neq = 4 i x \neq = - 4$

$x \neq = 4 i x \neq = - 4$

Wykonajmy podane działanie:

$\frac{2 x - 8}{x ^{2} - 8 x + 16} - \frac{3 x - 16}{2 x ^{2} - 32} = \frac{2 x - 8}{( x - 4 ) ^{2}} - \frac{3 x + 16}{2 ( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{2 \cdot 2 ( x + 4 )}{( x - 4 ) \cdot 2 ( x + 4 )} - \frac{3 x - 16}{2 ( x - 4 ) ( x + 4 )} =$

$= \frac{4 ( x + 4 )}{2 ( x - 4 ) ( x + 4 )} - \frac{3 x - 16}{2 ( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{4 x + 16 - 3 x + 16}{2 ( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{x + 32}{2 ( x - 4 ) ( x + 4 )}$