$\text{a)}{\left(\ln x\right)}^2=\ln x^2$  

Dziedzina:

$D=\left(0,+\infty \right)$  

Przekształcając równanie otrzymamy 

${\left(\ln x\right)}^2=2\ln x$

${\left(\ln x\right)}^2-2\ln x=0$

$\ln x\left(\ln x-2\right)=0$

skąd dostajemy, że 

$\ln x=0\text{lub}\ln x-2=0$

Rozwiązując pierwsze równanie dostajemy 

$\ln x=\underset{=0}{\underbrace{\ln 1}}$  

z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x=1$

Rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$\ln x=2$

$\ln x=\underset{=2}{\underbrace{\ln e^2}}$  

z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x=e^2$

 

Równanie ma więc dwa rozwiązania 

$x_1=1,x_2=e^2$

---

$\text{b)}\left(2\log x-1\right)\log x=3$  

Dziedzina:

$D=\left(0,+\infty \right)$  

Przekształcając równanie otrzymamy 

$2{\left(\log x\right)}^2-\log x=3$

$2{\left(\log x\right)}^2-\log x-3=0$

Użyjemy podstawienia 

$t=\log x$

wówczas równanie jest postaci

$2t^2-t-3=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

więc równanie ma dwa rozwiązania 

$t_1=\frac{1-5}{4}=-1$

$t_2=\frac{1+5}{4}=\frac{3}{2}$

Wracając do podstawienia dostajemy 

Dla t = - 1 dostajemy

$\log x=-1$  

$\log x=\log {10}^{-1}$  

Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x={10}^{-1}=\frac{1}{10}$

Dla t =3/2 dostajemy 

$\log x=\frac{3}{2}$  

$\log x=\log {10}^{\frac{3}{2}}$  

Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x={10}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$

 

Równanie ma więc łącznie dwa rozwiązania

$x_1=\frac{1}{10},x_2=10\sqrt{10}$

---

$\text{c)}5{\left({\log }_{2}x\right)}^2=2+{\log }_2{x}^9$  

Dziedzina:

$D=\left(0,+\infty \right)$  

Przekształcając równanie otrzymamy 

$5\cdot {\left({\log }_{2}x\right)}^2=2+9{\log }_{2}x$

$5\cdot {\left({\log }_{2}x\right)}^2-9\cdot {\log }_{2}x-2=0$

Użyjemy podstawienia 

$t={\log }_{2}x$

wówczas równanie jest postaci

$5t^2-9t-2=0$

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 5\cdot \left(-2\right)=81+40=121$

$\sqrt{\Delta }=11$

więc równanie ma dwa rozwiązania 

$t_1=\frac{9-11}{10}=-\frac{1}{5}$

$t_2=\frac{9+11}{10}=2$

Wracając do podstawienia dostajemy 

Dla t = - 1/5  dostajemy

${\log }_{2}x=-\frac{1}{5}$  

${\log }_{2}x={\log }_2{2}^{-\frac{1}{5}}$  

Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x=2^{-\frac{1}{5}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$

Dla t = 2 dostajemy 

${\log }_{2}x=2$  

${\log }_{2}x={\log }_2{2}^2$  

Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x=2^2=4$

 

Równanie ma więc łącznie dwa rozwiązania

$x_1=\frac{1}{\sqrt[5]{2}},x_2=4$

---

$\text{d}\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)-4\right){\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)+4=0$  

Dziedzina:

$x-1>0$

$x>1$   

$D=\left(1,+\infty \right)$  

Przekształcając równanie otrzymamy 

${\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)\right)}^2-4{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)+4=0$

${\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)-2\right)}^2=0$

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)-2=0$

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)=2$    

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$    

Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x-1={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$x-1=\frac{1}{4}$

$x=\frac{5}{4}$   

---

$\text{e)}{\left({\log }_4\left(x+2\right)\right)}^2=9$

Dziedzina:

$x+2>0$

$x>-2$

$D=\left(-2,+\infty \right)$  

Pierwiastkując równanie stronami dostajemy:

$\left|{\log }_4\left(x+2\right)\right|=3$

po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostajemy

${\log }_4\left(x+2\right)=3\text{lub}{\log }_4\left(x+2\right)=-3$

Rozwiązując pierwsze równanie otrzymujemy 

${\log }_4\left(x+2\right)=3$

${\log }_4\left(x+2\right)={\log }_4{4}^3$         

Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x+2=4^3$

$x+2=64$

$x=62$

Rozwiązując drugie równanie otrzymujemy 

${\log }_4\left(x+2\right)=-3$

${\log }_4\left(x+2\right)={\log }_4{4}^{-3}$         

Korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy 

$x+2=4^{-3}$

$x+2=\frac{1}{64}$

$x=-\frac{127}{64}=-1\frac{63}{64}$

 

Równanie ma więc dwa rozwiązania 

$x_1=-1\frac{63}{64},x_2=62$  

---

$\text{f)}12+{\left({\log }_{0,2}x\right)}^2={\log }_{0,2}{x}^6$

Dziedzina:

$D=\left(0,+\infty \right)$  

Użyjemy podstawienia:

$t={\log }_{0,2}x$  

Wówczas równanie jest postaci 

$12+t^2=t$

$t^2-t+12=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=1-48=-47<0$    

więc równanie nie ma rozwiązania. 

Oznacza to, że wyjściowe równanie także nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).