Dane są funkcje 

$f\left(x\right)=\sqrt{x+6}$

$g\left(x\right)=x^2+7x+10$

---

$\text{a)}h\left(x\right)=f\left(x+1\right)+g\left(x\right)=\sqrt{\left(x+1\right)+6}+x^2+7x+10=\sqrt{x+7}+x^2+7x+10$

Obliczmy dziedzinę tej funkcji.

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb rzeczywistych nieujemnych, więc

$x+7\ge 0$

$x\ge -7$

czyli

$D_h=⟨-7,+\infty )$        

---

$\text{b)}h\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{f\left(2x\right)}=\frac{x^2+7x+10}{\sqrt{2x+6}}=\frac{x^2+7x+10}{\sqrt{2x+6}}$

Obliczmy dziedzinę tej funkcji.

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb rzeczywistych nieujemnych, dodatkowo w mianowniku ułamka musi znajdować się liczba różna od zera, więc

$2x+6>0$   

$2x>-6\mid :2$

$x>-3$   

czyli

$D_h=\left(-3,+\infty \right)$        

---

$\text{c)}h\left(x\right)=\frac{f\left(2x-1\right)}{g\left(x\right)-7x}=\frac{\sqrt{\left(2x-1\right)+6}}{x^2+7x+10-7x}=\frac{\sqrt{2x+5}}{x^2+10}$

Obliczmy dziedzinę tej funkcji.

1) Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb rzeczywistych nieujemnych, więc

$2x+5\ge 0$  

$x\ge -\frac{5}{2}$

2) W mianowniku ułamka musi znajdować się liczba różna od zera. 

Zauważmy, że wyrażenie

$x^2+10$

dla każdej liczby rzeczywistej x jest liczbą dodatnią

$x^2+10>0$    

więc w mianowniku ułamka może znajdować się dowolna liczba rzeczywista x. 

Zatem z warunków 1) i 2) dostajemy, że

$D_h=⟨-\frac{5}{2},+\infty )$