a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Trójkąt ABC jest równoramienny, ma więc równe kąty przy podstawie. 

Skąd dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|=\left({180}^{\circ }-\alpha \right):2={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$

Rozważmy trójkąt prostokątny ABE. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\left|\sphericalangle ABE\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\alpha }{2}$   

Skąd dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle ABE\right|+\beta ={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$

$\frac{\alpha }{2}+\beta ={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$  

$\beta ={90}^{\circ }-\alpha$

Zauważmy, że

  $\left|\sphericalangle AFE\right|=\left|\sphericalangle DFB\right|=\gamma$

(jako kąty wierzchołkowe)

Rozważmy trójkąt prostokątny DBF. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\gamma ={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+\beta \right)={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{90}^{\circ }-\alpha \right)=\alpha$

więc

$\beta ={90}^{\circ }-\alpha$

$\gamma =\alpha$

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym obrazku

Trójkąt ABC jest równoramienny, ma więc równe kąty przy podstawie. 

Skąd dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|=\left({180}^{\circ }-\alpha \right):2={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$

Wiemy, że półprosta BE jest dwusieczną kąta ABC, więc dzieli go na dwa kąty równej miary, zatem 

$\left|\sphericalangle EBC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle ABC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left({90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\right)={45}^{\circ }-\frac{\alpha }{4}$

Rozważmy trójkąt BEC. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\beta ={180}^{\circ }-\left(\alpha +{45}^{\circ }-\frac{\alpha }{4}\right)={135}^{\circ }-\frac{3}{4}\alpha$  

Rozważmy trójkąt AFB. 

Półproste AD i BE są dwusiecznymi kątów CAB i ABC, więc

$\left|\sphericalangle BAF\right|=\left|\sphericalangle ABF\right|={45}^{\circ }-\frac{\alpha }{4}$  

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\gamma ={180}^{\circ }-\left({45}^{\circ }-\frac{\alpha }{4}+{45}^{\circ }-\frac{\alpha }{4}\right)={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\right)={90}^{\circ }+\frac{\alpha }{2}$  

Otrzymaliśmy więc, że

$\beta ={135}^{\circ }-\frac{3}{4}\alpha$

$\gamma ={90}^{\circ }+\frac{\alpha }{2}$   

---

c) Trójkąt ABC jest równoramienny, ma więc równe kąty przy podstawie. 

Skąd dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|=\left({180}^{\circ }-\alpha \right):2={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$

Zauważmy, że skoro odcinek AD to środkowa trójkąta ABC to punkt D jest środkiem odcinka BC.

Wiedząc, że zachodzi 

$\left|BC\right|=2\left|AB\right|$  

dostajemy, że 

$\left|AB\right|=\left|BD\right|=\left|CD\right|$

czyli trójkąt ABD jest równoramienny, więc

$\left|\sphericalangle BDA\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|=\beta$

skąd dostajemy, że

$\beta +\gamma ={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\left(\text{*}\right)$

Zauważmy, że kąty BDA i ADC to kąty przyległe, więc 

$\left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ }-\beta$

Rozważmy trójkąt ADC. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\alpha +{180}^{\circ }-\beta +\gamma ={180}^{\circ }$

$-\beta +\gamma =-\alpha \left(\text{**}\right)$

po dodaniu równań (*) i (**) stronami dostajemy 

$2\gamma ={90}^{\circ }-\frac{3}{2}\alpha \mid :2$

$\gamma ={45}^{\circ }-\frac{3}{4}\alpha$  

skąd dostajemy, że 

$\beta ={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}-\gamma ={90}^{\circ }-\frac{\alpha }{2}-\left({45}^{\circ }-\frac{3}{4}\alpha \right)={45}^{\circ }+\frac{1}{4}\alpha$   

Otrzymaliśmy więc, że

$\beta ={45}^{\circ }+\frac{1}{4}\alpha$

$\gamma ={45}^{\circ }-\frac{3}{4}\alpha$