a) Zauważmy, że kąt o mierze 80° jest kątem przyległym do kąta DCB. 

Suma kątów przyległych jest równa 180° więc

$\left|\sphericalangle DCB\right|={180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$

Zauważmy również, że kąt o mierze 110° jest kątem przyległym do kąta CBA. 

Suma kątów przyległych jest równa 180° więc

$\left|\sphericalangle CBA\right|={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$  

Korzystając z faktu, że suma kątów w czworokącie jest równa 360° dostajemy, że

$\left|\sphericalangle ADC\right|={360}^{\circ }-\left({40}^{\circ }+{100}^{\circ }+{70}^{\circ }\right)={360}^{\circ }-{210}^{\circ }={150}^{\circ }$

Zatem miary kątów czworokąta ABCD są równe:

${40}^{\circ },{70}^{\circ },{100}^{\circ },{150}^{\circ }$

---

b) Rozważmy trójkąt prostokątny AED. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy, że

$\left|\sphericalangle EAD\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$

Zauważmy, że kąty EAD i DAB to kąty przyległe, więc ich suma jest równa 180°.

Skąd dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle DAB\right|={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$

Następnie zauważmy, że kąty o mierze 30°, 100° i kąt ADC to kąty przyległe, więc

$\left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ }-{130}^{\circ }={50}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w czworokącie jest równa 360° dostajemy, że

$\left|\sphericalangle BCD\right|={360}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{120}^{\circ }+{50}^{\circ }\right)={360}^{\circ }-{260}^{\circ }={100}^{\circ }$

Zatem miary kątów czworokąta ABCD są równe:

${50}^{\circ },{90}^{\circ },{100}^{\circ },{120}^{\circ }$

---

c) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

 

Zauważmy, że po dorysowaniu odcinka AC otrzymujemy dwa trójkąty równoramienne ABC i ACD. 

Rozważmy trójkąt prostokątny równoramienny ACD. 

Kąty CAD i DCA są równej miary, więc korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle CAD\right|=\left|\sphericalangle DCA\right|=\left({180}^{\circ }-{90}^{\circ }\right):2={90}^{\circ }:2={45}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt równoramienny BAC. 

Kąty BAC i ACB są równej miary, więc korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy, że 

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle ACB\right|=\left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right):2={150}^{\circ }:2={75}^{\circ }$

zatem

  $\left|\sphericalangle BAD\right|=\left|\sphericalangle BAC\right|+\left|\sphericalangle CAD\right|={75}^{\circ }+{45}^{\circ }={120}^{\circ }$

  $\left|\sphericalangle BCD\right|=\left|\sphericalangle ACB\right|+\left|\sphericalangle DCA\right|={75}^{\circ }+{45}^{\circ }={120}^{\circ }$

Zatem miary kątów czworokąta ABCD są równe:

${30}^{\circ },{90}^{\circ },{120}^{\circ },{120}^{\circ }$