a) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Dany jest trójkąt ABC, którego kąty mają miary: α, ß i γ. 

Niech kąt o mierze δ będzie kątem przyległym np. do kąta o mierze α.

Zauważmy, że korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy, że 

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$

$\underline{\beta +\gamma ={180}^{\circ }-\alpha }$

Kąty α i δ to kąty przyległe, zatem ich suma jest równa 180° skąd otrzymujemy 

$\alpha +\delta ={180}^{\circ }$

$\underline{\delta ={180}^{\circ }-\alpha }$

Zatem 

$\delta =\beta +\gamma$

kąt trójkąta wybieraliśmy dowolnie, zatem miara kąta przyległego  do dowolnego kąta trójkąta jest równa sumie miar pozostałych kątów tego trójkąta. 

c.n.d.

---

b) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Dany jest trójkąt ABC, którego kąty mają miary: α, ß i γ. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy, że 

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$

Zauważmy, że do każdego kąta w trójkącie ABC przylegają dokładnie dwa kąty przyległe. 

Suma kątów przyległych jest równa 180°, zatem każdy z dwóch kątów przyległych do kąta α ma miarę 

${180}^{\circ }-\alpha$

 każdy z dwóch kątów przyległych do kąta ß ma miarę 

${180}^{\circ }-\beta$

każdy z dwóch kątów przyległych do kąta γ ma miarę 

${180}^{\circ }-\gamma$

Suma miar wszystkich kątów przyległych do wszystkich kątów trójkąta jest więc równa 

$2\left({180}^{\circ }-\alpha \right)+2\left({180}^{\circ }-\beta \right)+2\left({180}^{\circ }-\gamma \right)={1080}^{\circ }-2\alpha -2\beta -2\gamma =$

${1080}^{\circ }-2\left(\underset{={180}^{\circ }}{\underbrace{\alpha +\beta +\gamma }}\right)={1080}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=$

${1080}^{\circ }-{360}^{\circ }={720}^{\circ }$

c.n.d.    

---

c) Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Dany jest czworokąt wypukły ABCD, którego kąty mają miary: α, ß, γ i δ. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w czworokącie jest równa 360° dostajemy, że 

$\alpha +\beta +\gamma +\delta ={360}^{\circ }$

Zauważmy, że do każdego kąta w czworokącie ABCD przylegają dokładnie dwa kąty przyległe. 

Suma kątów przyległych jest równa 180°, zatem każdy z dwóch kątów przyległych do kąta α ma miarę 

${180}^{\circ }-\alpha$

 każdy z dwóch kątów przyległych do kąta ß ma miarę 

${180}^{\circ }-\beta$

każdy z dwóch kątów przyległych do kąta γ ma miarę 

${180}^{\circ }-\gamma$

każdy z dwóch kątów przyległych do kąta δ ma miarę 

${180}^{\circ }-\delta$

Suma miar wszystkich kątów przyległych do wszystkich kątów czworokąta jest więc równa 

$2\left({180}^{\circ }-\alpha \right)+2\left({180}^{\circ }-\beta \right)+2\left({180}^{\circ }-\gamma \right)+2\left({180}^{\circ }-\delta \right)={1440}^{\circ }-2\alpha -2\beta -2\gamma -2\delta =$

${1440}^{\circ }-2\left(\underset{={360}^{\circ }}{\underbrace{\alpha +\beta +\gamma +\delta }}\right)={1440}^{\circ }-2\cdot {360}^{\circ }=$

${1440}^{\circ }-{720}^{\circ }={720}^{\circ }$

c.n.d.