$\text{a)}{x}^4-4=0$

${\left(x^2\right)}^2-2^2=0$  

$\left(x^2-2\right)\left(x^2+2\right)=0$

więc

$x^2-2=0\text{lub}{x}^2+2=0$

$x^2=2\text{lub}{x}^2=-2\left(\text{sprz.}\right)$

rozwiązując pierwsze równanie otrzymamy

$x^2=2$

$x=-\sqrt{2}\text{lub}x=\sqrt{2}$   

równanie ma więc 2 rozwiązania 

$x_1=-\sqrt{2},x_2=\sqrt{2}$  

---

$\text{b)}{x}^4-13x^2+36=0$

użyjmy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$t^2-13t+36=0$

$\Delta ={\left(-13\right)}^2-4\cdot 1\cdot 36=169-144=25$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

więc

$t_1=\frac{13-5}{2}=\frac{8}{2}=4$

$t_2=\frac{13+5}{2}=\frac{18}{2}=9$

wracając do podstawienia otrzymujemy

• dla t = 4  

$x^2=4$

$x=-2x=2$

• dla t = 9

$x^2=9$

$x=-3\text{lub}x=3$             

wyjściowe równanie ma więc 4 rozwiązania

$x_1=-3,x_2=-2,x_3=2,x_4=3$

---

$\text{c)}{x}^4-18x^2+32=0$

użyjmy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$t^2-18t+32=0$

$\Delta ={\left(-18\right)}^2-4\cdot 1\cdot 32=324-128=196$   

$\sqrt{\Delta }=14$

więc

$t_1=\frac{18-14}{2}=\frac{4}{2}=2$

$t_2=\frac{18+14}{2}=\frac{32}{2}=16$

wracając do podstawienia otrzymujemy

• dla t = 2  

$x^2=2$

$x=-\sqrt{2}x=\sqrt{2}$

• dla t = 16

$x^2=16$

$x=-4\text{lub}x=4$             

wyjściowe równanie ma więc 4 rozwiązania

$x_1=-4,x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{2},x_4=4$  

---

$\text{d)}2x^4-15x^2-27=0$

użyjmy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$2t^2-15t-27=0$  

$\Delta ={\left(-15\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-27\right)=225+216=441$

$\sqrt{\Delta }=21$   

więc

$t_1=\frac{15-21}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}\left(\text{sprz.}t\ge 0\right)$  

$t_2=\frac{15+21}{4}=\frac{36}{4}=9$

wracając do podstawienia dostajemy 

$t=9$   

$x^2=9$

$x=-3\text{lub}x=3$

wyjściowe równanie ma więc 2 rozwiązania

$x_1=-3,x_2=3$

---

$\text{e)}2x^4-9x^2+4=0$  

użyjmy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$2t^2-9t+4=0$

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49$

$\sqrt{\Delta }=7$

więc

$t_1=\frac{9-7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$t_2=\frac{9+7}{4}=\frac{16}{4}=4$

wracając do podstawienia otrzymujemy

• dla t = ¹/₂  

$x^2=\frac{1}{2}$

$x=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{lub}x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

• dla t = 4

$x^2=4$

$x=-2\text{lub}x=2$             

wyjściowe równanie ma więc 4 rozwiązania

$x_1=-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-2,x_3=2,x_4=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

---

$\text{f)}4x^4-5x^2-6=0$

użyjmy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$4t^2-5t-6=0$

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-6\right)=25+96=121$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{121}=11$

więc

$t_1=\frac{5-11}{8}=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4}\left(\text{sprz.}t\ge 0\right)$     

$t_2=\frac{5+11}{8}=\frac{16}{8}=2$

wracając do podstawienia otrzymujemy 

$t=2$

$x^2=2$

$x=-\sqrt{2},x=\sqrt{2}$

wyjściowe równanie ma więc 2 rozwiązania 

$x_1=-\sqrt{2},x_2=\sqrt{2}$

---

$\text{g)}2,5x^4+3x^2+5=0$

użyjmy podstawienia

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy

$2,5t^2+3t+5=0$

$\Delta =3^2-4\cdot 2,5\cdot 5=9-50=-41<0$

więc wyjściowe równanie nie ma rozwiązania. 

---

$\text{h)}4x^4-4x^2+1=0$

${\left(2x^2\right)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 1+1^2=0$

${\left(2x^2-1\right)}^2=0$

pierwiastkując równanie stronami otrzymujemy 

$2x^2-1=0$

$2x^2=1$

$x^2=\frac{1}{2}$

$x=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{lub}x=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

równanie ma więc dwa rozwiązania

$x_1=-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$            

---

$\text{i)}2x^6-x^4=3x^2$

$2x^6-x^4-3x^2=0$

$x^2\left(2x^4-x^2-3\right)=0$

więc

  $x^2=0\text{lub}2x^4-x^2-3=0$   

$x=0\text{lub}2x^4-x^2-3=0$

rozwiążemy drugie równanie używając podstawienia

$x^2=t,t\ge 0$

$2t^2-t-3=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

więc

$t_1=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1\left(\text{sprz.},t\ge 0\right)$

$t_2=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

wracając do podstawienia otrzymujemy 

$t=\frac{3}{2}$

$x^2=\frac{3}{2}$

$x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\text{lub}x=-\sqrt{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$

wyjściowe równanie ma więc 3 rozwiązania

$x_1=-\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=0,x_3=\frac{\sqrt{6}}{2}$  

---

$\text{j)}{x}^6-7x^3-8=0$

$x^6+\underset{=-7x^3}{\underbrace{x^3-8x^3}}-8=0$  

$x^3\left(x^3+1\right)-8\left(x^3+1\right)=0$

$\left(x^3+1\right)\left(x^3-8\right)=0$

$\left(x^3+1^3\right)\left(x^3-2^3\right)=0$

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)=0$

więc

$x+1=0\text{lub}{x}^2-x+1=0\text{lub}x-2=0\text{lub}{x}^2+2x+4=0$

$x=-1\text{lub}\Delta =-3<0\text{lub}x=2\text{lub}\Delta =-12<0$        

czyli wyjściowe równanie ma 2 rozwiązania

$x_1=-1,x_2=2$

---

$\text{k)}\left(x^4-3x^2+2\right)\left(x^4-x^2-6\right)=0$

$\left(x^4-x^2-2x^2+2\right)\left(x^4-3x^2+2x^2-6\right)=0$   

$\left(x^2\left(x^2-1\right)-2\left(x^2-1\right)\right)\left(x^2\left(x^2-3\right)+2\left(x^2-3\right)\right)=0$  

$\left(x^2-2\right)\left(x^2-1\right)\left(x^2-3\right)\left(x^2+2\right)=0$

więc

$x^2-2=0\text{lub}{x}^2-1=0\text{lub}{x}^2-3=0\text{lub}{x}^2+2=0$

rozwiązując pierwsze równanie mamy 

$x^2-2=0$  

$x^2=2$

$x=-\sqrt{2},x=\sqrt{2}$

rozwiązując drugie równanie otrzymujemy

$x^2-1=0$  

$x^2=1$

$x=-1,x=1$

rozwiązując trzecie równanie otrzymamy

$x^2-3=0$

$x^2=3$

$x=-\sqrt{3},x=\sqrt{3}$

rozwiązując czwarte równanie dostajemy

$x^2+2=0$

$x^2=-2\left(\text{sprz.}\right)$  

zatem wyjściowe równanie ma 6 rozwiązań

$x_1=-\sqrt{3},x_2=-\sqrt{2},x_3=-1,x_4=1,x_5=\sqrt{2},x_6=\sqrt{3}$

---

$\text{l)}{x}^5+3x^3+2x=0$

$x\left(x^4+3x^2+2\right)=0$

$x\left(x^4+\underset{=3x^2}{\underbrace{x^2+2x^2}}+2\right)=0$  

$x\left(x^2\left(x^2+1\right)+2\left(x^2+1\right)\right)=0$

$x\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)=0$

więc

$x=0\text{lub}{x}^2+1=0\text{lub}{x}^2+2=0$

$x=0\text{lub}{x}^2=-1\left(\text{sprz.}\right)\text{lub}{x}^2=-2\left(\text{sprz.}\right)$                  

równanie ma więc 1 rozwiązanie

$x=0$