W którym namiocie mieści się najwięcej...- Zadanie 128: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Namiot 1.

Zauważmy, że narysowany namiot ma kształt graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy ma długość a, krawędź boczna ma długość ⁵/₂a.

Ilość powietrza mieszczącego się w namiocie jest równa objętości narysowanego graniastosłupa, czyli jest równa

$V_{1} = P_{p} \cdot H = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot \frac{5}{2} a = \frac{5 3 a ^{3}}{8} \approx 1, 08 a^{3}$

Zauważmy, że ilość materiału potrzebna na uszycie namiotu jest równa polu powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, czyli

$P_{1} = 2 P_{p} + P_{b} = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 \cdot a \cdot \frac{5}{2} a =$

$= \frac{a ^{2} 2}{2} + \frac{15 a ^{2}}{2} = \frac{( 15 + 2 ) a ^{2}}{2} \approx 8, 21 a^{2}$

Namiot 2.

Zauważmy, że narysowany namiot ma kształt półkuli, której promień ma długość a.

Ilość powietrza mieszczącego się w namiocie jest równa objętości półkuli, czyli jest dwa razy mniejsza niż objętość kuli o tym samym promieniu, zatem

$V_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} π \cdot a^{3} = \frac{2}{3} π a^{3} \approx 2, 09 a^{3}$

Ilość materiału potrzebna na uszycie namiotu jest równa polu powierzchni całkowitej półkuli, która jest równa sumie połowy pola powierzchni kuli o tym samym promieniu i polu koła wielkiego kuli, czyli

$P_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 π \cdot a^{2} + π a^{2} = 2 π a^{2} + π a^{2} = 3 π a^{2} \approx 9, 42 a^{2}$

Namiot 3.

Zauważmy, że narysowany namiot ma kształt walca rozciętego płaszczyzną przechodzącą przez średnicę podstawy, którego promień podstawy ma długość a, krawędź boczna ma długość 2a.

Ilość powietrza mieszczącego się w namiocie jest równa jego objętości, czyli jest dwa razy mniejsza od objętości walca o tych samych wymiarach, czyli

$V_{3} = \frac{1}{2} \cdot π \cdot a^{2} \cdot 2 a = π a^{3} \approx 3, 14 a^{3}$

Zauważmy, że ilość materiału potrzebna na uszycie namiotu jest równa sumie połowy pola powierzchni całkowitej tego walca i kwadratu o boku 2a, czyli

$P_{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 π a (a + 2 a) + (2 a)^{2} = π a \cdot 3 a + 4 a^{2} = 3 a^{2} π + 4 a^{2} = a^{2} (3 π + 4) \approx 13, 42 a^{2}$

Namiot 4.

Zauważmy, że narysowany namiot ma kształt stożka, którego promień podstawy ma długość a, tworząca ma długość 2a.

Zauważmy, że wysokość (H) stożka tworzy z promieniem podstawy i tworzącą trójkąt prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość wysokości tego stożka

$H^{2} + a^{2} = (2 a)^{2}$

$H^{2} + a^{2} = 4 a^{2}$

$H^{2} = 3 a^{2} i H > 0$

więc

$H = 3 a$

Ilość powietrza mieszczącego się w namiocie jest równa objętości narysowanego stożka, czyli jest równa

$V_{4} = \frac{1}{3} \cdot π a^{2} \cdot 3 a = \frac{3 π a ^{3}}{3} \approx 1, 81 a^{3}$

Zauważmy, że ilość materiału potrzebna na uszycie namiotu jest równa polu powierzchni całkowitej tego stożka, czyli

$P_{4} = π \cdot a (a + 2 a) = π \cdot a \cdot 3 a = 3 π a^{2} \approx 9, 42 a^{2}$

Zatem otrzymujemy, że

$V_{1} < V_{4} < V_{2} < V_{3}$

$P_{1} < P_{2} = P_{4} < P_{3}$

Odp. Najwięcej powietrza mieści się w namiocie 3, najmniej powietrza mieści się w namiocie 1; na uszycie namiotu 3 potrzeba najwięcej materiału, a na uszycie namiotu 1 potrzeba najmniej materiału.