Przypomnijmy, że graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. 

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Oznaczmy przez a długość boku kwadratu ABCD. 

Obliczmy długość x boku kwadratu EFGH. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

$x^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$  

$x^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}$

$x^2=\frac{a^2}{2}\text{i}x>0$

więc 

$x=\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$   

---

a) Oznaczmy przez H wysokość obu graniastosłupów. 

Zauważmy, że objętość początkowego graniastosłupa jest równa

$V=a^2\cdot H$  

Obliczmy objętość mniejszego (wyciętego) graniastosłupa 

$V{}^{\prime }={\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2\cdot H=\frac{a^2}{2}\cdot H=\frac{1}{2}{a}^2\cdot H=\frac{1}{2}V$  

czyli znając wartość V, można obliczyć V'. 

---

b) Obliczmy pole powierzchni początkowego graniastosłupa. 

Zauważmy, że ścianami bocznymi w tym graniastosłupie są cztery prostokąty o wymiarach a x H. 

Zatem

$P=2P_p+P_b=2a^2+4aH$

Obliczmy pole powierzchni mniejszego (wyciętego) graniastosłupa. 

Zauważmy, że ścianami bocznymi w tym graniastosłupie są cztery prostokąty o wymiarach ^a/_√2 x H.

Zatem

$P{}^{\prime }=2P_p+P_b=2\cdot {\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^2+4\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot H=2\cdot \frac{a^2}{2}+4\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot H=a^2+2\sqrt{2}aH$  

Obliczmy stosunek pola mniejszego graniastosłupa do większego

$\frac{P{}^{\prime }}{P}=\frac{a^2+2\sqrt{2}aH}{2a^2+4aH}=\frac{a^2+2\sqrt{2}aH}{2\left(a^2+2aH\right)}$  

zauważmy, że nie jesteśmy w stanie tak przekształcić powyższego wyrażenia, by otrzymany iloraz był stały. 

Tym samym znając P, nie jesteśmy w stanie obliczyć P'.