a) Przypomnijmy, że graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny. 

Wprowadźmy oznaczenia:

a - długość krawędzi podstawy graniastosłupa;

H - wysokość graniastosłupa.

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Zauważmy, że sześciokąt foremny można podzielić na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku długości a i o wspólnym wierzchołku (tak jak na powyższym rysunku). 

Wtedy krótsza przekątna sześciokąta foremnego (x) jest równa dwóm długościom wysokości tych trójkątów, czyli

$x=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Zauważmy, że trójkąt CEE' jest trójkątem prostokątnym, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę 70°. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy

$\text{1)}\cos {70}^{\circ }=\frac{x}{4}\Rightarrow \cos {70}^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow a=\frac{4\cdot \cos {70}^{\circ }}{\sqrt{3}}$  

$\text{2)}\sin {70}^{\circ }=\frac{H}{4}\Rightarrow H=4\cdot \sin {70}^{\circ }$  

więc

$P_p=6\cdot \frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{{\left(\frac{4\cdot \cos {70}^{\circ }}{\sqrt{3}}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{\frac{{\cancel{16}}^4\cdot {\cos }^2{70}^{\circ }}{3}\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}_1}=\frac{24\sqrt{3}{\cos }^2{70}^{\circ }}{3}=8\sqrt{3}{\cos }^2{70}^{\circ }$  

 

$V=P_p\cdot H=8\sqrt{3}{\cos }^2{70}^{\circ }\cdot 4\cdot \sin {70}^{\circ }=32\sqrt{3}\cdot \sin {70}^{\circ }\cdot {\cos }^2{70}^{\circ }$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych dostajemy 

$\sin {70}^{\circ }\approx 0,9397$  

$\cos {70}^{\circ }\approx 0,3420$

czyli

$V=32\sqrt{3}\cdot \sin {70}^{\circ }\cdot {\cos }^2{70}^{\circ }\approx 32\sqrt{3}\cdot 0,9397\cdot {0,3420}^2\approx 6,1$   

---

b) Przypomnijmy, że graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny. 

Wprowadźmy oznaczenia:

a - długość krawędzi podstawy graniastosłupa;

H - wysokość graniastosłupa.

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi

Sześciokąt foremny można podzielić na 6 przystających trójkątów równobocznych o boku długości a i o wspólnym wierzchołku (tak jak na powyższym rysunku). 

Wtedy dłuższa przekątna sześciokąta foremnego (y) jest równa dwóm długościom boków tych trójkątów, czyli

$y=2a$  

a krótsza przekątna sześciokąta foremnego (x) jest równa dwóm długościom wysokości tych trójkątów, czyli

$x=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

1. Zauważmy, że trójkąt BEE' jest trójkątem prostokątnym, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{H}{y}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{2a}\Rightarrow H=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$   

2. Zauważmy, że trójkąt CEE'  jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy 

$x^2+H^2=6^2$

${\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}a}{3}\right)}^2=36$    

$3a^2+\frac{12a^2}{9}=36$

$3a^2+\frac{4a^2}{3}=36$  

$\frac{13}{3}{a}^2=36$

$a^2=\frac{108}{13}\text{i}a>0$  

więc

$a=\sqrt{\frac{108}{13}}$  

$H=\frac{2\sqrt{3}a}{3}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{\frac{108}{13}}}{3}=\frac{2\sqrt{\frac{324}{13}}}{3}=\frac{2\cdot \frac{18}{\sqrt{13}}}{3}=\frac{36}{3\sqrt{13}}=\frac{36\sqrt{13}}{39}=\frac{12\sqrt{13}}{13}$  

Skąd mamy 

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{\frac{{\cancel{108}}^{27}}{13}\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}_1}=\frac{162\sqrt{3}}{13}$

więc

$V=P_p\cdot H=\frac{162\sqrt{3}}{13}\cdot \frac{12\sqrt{13}}{13}=\frac{1944\sqrt{39}}{169}$