a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długości boków a i b w trójkącie AB'C'.

Dostajemy:

1.

$a^2=7^2+8^2$   

$a^2=49+64$

$a^2=113\text{i}a>0$   

więc

$a=\sqrt{113}$

2.

$b^2=4^2+8^2$

$b^2=16+64$

$b^2=80\text{i}b>0$     

więc

$b=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie AB'C' mamy 

$6^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \alpha$

$36={\sqrt{113}}^2+{\left(4\sqrt{5}\right)}^2-2\cdot \sqrt{133}\cdot 4\sqrt{5}\cdot \cos \alpha$

$36=113+80-8\sqrt{665}\cdot \cos \alpha$

$-157=-8\sqrt{665}\cdot \cos \alpha$

więc

$\cos \alpha =\frac{157}{8\sqrt{665}}\approx 0,7610$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych zauważmy, że 

$\cos {40}^{\circ }\approx 0,7660$

więc

$\alpha \approx {40}^{\circ }$  

UWAGA!!!

Odpowiedź podana na końcu książki do podpunktu a) jest błędna. 

Poprawna odpowiedź to

$\alpha \approx {40}^{\circ }$  

---

b) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długości boków a, b i c w trójkącie ACD'.

Dostajemy:

1.

$a^2=2^2+4^2$   

$a^2=4+16$

$a^2=20\text{i}a>0$   

więc

$a=2\sqrt{5}$

2.

$b^2=2^2+3^2$

$b^2=4+9$

$b^2=13\text{i}b>0$     

więc

$b=\sqrt{13}$  

3.

$c^2=4^2+3^2$

$c^2=16+9$

$c^2=25\text{i}c>0$     

więc

$c=5$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACD' mamy 

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

${\left(2\sqrt{5}\right)}^2={\sqrt{13}}^2+5^2-2\cdot \sqrt{13}\cdot 5\cdot \cos \alpha$

$20=13+25-10\sqrt{13}\cdot \cos \alpha$

$-18=-10\sqrt{13}\cdot \cos \alpha$    

więc

$\cos \alpha =\frac{18}{10\sqrt{13}}\approx 0,4992$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych zauważmy, że 

$\cos {60}^{\circ }=0,5$

więc

$\alpha \approx {60}^{\circ }$