Niech

$\left|AC\right|=x$  

Korzystając z twierdzenia cosinusów dostajemy 

${\left(10\sqrt{7}\right)}^2={10}^2+x^2-2\cdot 10\cdot x\cdot \cos {120}^{\circ }$   

$100\cdot 7=100+x^2-20x\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)$

$0=-600+x^2-20x\cdot \left(-\cos {60}^{\circ }\right)$  

$0=-600+x^2+20x\cdot \cos {60}^{\circ }$

$0=-600+x^2+20x\cdot \frac{1}{2}$

$0=-600+x^2+10x$

co możemy równoważnie zapisać

$x^2+10x-600=0$      

$\Delta =100-4\cdot 1\cdot \left(-600\right)=100+2400=2500$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{2500}=50$

więc

$x_1=\frac{-10-50}{2}=-30<0\text{sprz.}$  

$x_2=\frac{-10+50}{2}=20$

czyli

$\left|AC\right|=x=20$