a) Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° obliczmy miarę trzeciego kąta w tym trójkącie:

${180}^{\circ }-\left({20}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{50}^{\circ }={130}^{\circ }$

Wprowadźmy oznaczenia:

x- miara najdłuższego boku w trójkącie;

y - miara najkrótszego boku w trójkącie.

Przypomnijmy, że w trójkącie najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, a najkrótszy bok naprzeciw najmniejszego kąta.

Zatem korzystając z twierdzenia sinusów dostajemy:

$\frac{x}{\sin {130}^{\circ }}=\frac{y}{\sin {20}^{\circ }}\mid \cdot \sin {130}^{\circ }$  

$x=\frac{y\cdot \sin {130}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}\mid :y$  

$\frac{x}{y}=\frac{\sin {130}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}=\frac{\sin \left({180}^{\circ }-{50}^{\circ }\right)}{\sin {20}^{\circ }}=\frac{\sin {50}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\sin {50}^{\circ }\approx 0,7660$

$\sin {20}^{\circ }\approx 0,3420$

więc

$\frac{x}{y}=\frac{\sin {50}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}\approx \frac{0,7660}{0,3420}\approx 2,2=\frac{11}{5}$

---

b) Wprowadźmy oznaczenia:

𝛼 - miara największego kąta w trójkącie;

𝛽 - miara trzeciego kąta w trójkącie;

x - miara trzeciego boku w trójkącie.

Przypomnijmy, że w trójkącie najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, a najkrótszy bok naprzeciw najmniejszego kąta.

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy

$\sin {40}^{\circ }\approx 0,6428$  

Zatem korzystając z twierdzenia sinusów dostajemy:

 

$\frac{30}{\sin \alpha }=\frac{20}{\sin {40}^{\circ }}\Rightarrow \sin \alpha =\frac{30\cdot \sin {40}^{\circ }}{20}=\frac{3}{2}\cdot \sin {40}^{\circ }\approx \frac{3}{2}\cdot 0,6428=0,9642$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych zauważmy, że

$\sin {75}^{\circ }\approx 0,9659$

więc

$\alpha \approx {75}^{\circ }$

Obliczmy miarę trzeciego kąta w tym trójkącie:

$\beta ={180}^{\circ }-{40}^{\circ }-\alpha ={140}^{\circ }-\alpha \approx {140}^{\circ }-{75}^{\circ }={65}^{\circ }$

Ponownie korzystając z twierdzenia sinusów mamy

$\frac{x}{\sin {65}^{\circ }}=\frac{20}{\sin {40}^{\circ }}\Rightarrow x=\frac{20\cdot \sin {65}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych dostajemy

$\sin {65}^{\circ }\approx 0,9063$  

więc

$x=\frac{20\cdot \sin {65}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}\approx \frac{20\cdot 0,9063}{0,6428}\approx 28cm$