Oblicz długości odcinków...- Zadanie 126: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia sinusów:

W trójkącie stosunki długości boków do sinusów kątów leżących naprzeciw tych boków są równe.

Rysunek I.

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° obliczmy miarę trzeciego kąta w tym trójkącie

$180^{\circ} - (35^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$

Korzystając z twierdzenia sinusów dostajemy

$1) \frac{5}{sin 70 ^{\circ}} = \frac{a}{sin 35 ^{\circ}} \Rightarrow a = \frac{5 sin 35 ^{\circ}}{sin 70 ^{\circ}}$

$2) \frac{5}{sin 70 ^{\circ}} = \frac{b}{sin 75 ^{\circ}} \Rightarrow b = \frac{5 \cdot sin 75 ^{\circ}}{sin 70 ^{\circ}}$

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy:

$sin 35^{\circ} \approx 0, 5736$

$sin 70^{\circ} \approx 0, 9397$

$sin 75^{\circ} \approx 0, 9659$

Skąd dostajemy

$a = \frac{5 sin 35 ^{\circ}}{sin 70 ^{\circ}} \approx \frac{5 \cdot 0 , 5736}{0 , 9397} \approx 3, 05$

$b = \frac{5 \cdot sin 75 ^{\circ}}{sin 70 ^{\circ}} \approx \frac{5 \cdot 0 , 9659}{0 , 9397} \approx 5, 14$

UWAGA!!!

Odpowiedź podana na końcu książki jest błędna.

Poprawna odpowiedź to

$b \approx 5, 14$

Rysunek II.

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° obliczmy miarę trzeciego kąta w tym trójkącie

$180^{\circ} - (130^{\circ} + 20^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$

Korzystając z twierdzenia sinusów dostajemy

$1) \frac{10}{sin 130 ^{\circ}} = \frac{c}{sin 20 ^{\circ}} \Rightarrow c = \frac{10 \cdot sin 20 ^{\circ}}{sin 130 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot sin 20 ^{\circ}}{sin ( 180 ^{\circ} - 50 ^{\circ} )} = \frac{10 \cdot sin 20 ^{\circ}}{sin 50 ^{\circ}}$

$2) \frac{10}{sin 130 ^{\circ}} = \frac{d}{sin 30 ^{\circ}} \Rightarrow d = \frac{10 \cdot sin 30 ^{\circ}}{sin 130 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot sin 30 ^{\circ}}{sin 50 ^{\circ}} = \frac{10 \cdot \frac{1}{2}}{sin 50 ^{\circ}} = \frac{5}{sin 50 ^{\circ}}$

Korzystając z tablic trygonometrycznych mamy:

$sin 20^{\circ} \approx 0, 3420$

$sin 50^{\circ} \approx 0, 7660$

Skąd dostajemy

$c = \frac{10 \cdot sin 20 ^{\circ}}{sin 50 ^{\circ}} \approx \frac{10 \cdot 0 , 3420}{0 , 7660} \approx 4, 46$

$d = \frac{5}{sin 50 ^{\circ}} \approx \frac{5}{0 , 7660} \approx 6, 53$

Rysunek III.

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° obliczmy miarę trzeciego kąta w tym trójkącie

$180^{\circ} - (120^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$

Korzystając z twierdzenia sinusów dostajemy

$1) \frac{3}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{e}{sin 40 ^{\circ}} \Rightarrow e = \frac{3 \cdot sin 40 ^{\circ}}{sin 20 ^{\circ}}$

$2) \frac{3}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{f}{sin 120 ^{\circ}} \Rightarrow f = \frac{3 \cdot sin 120 ^{\circ}}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{3 \cdot sin ( 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} )}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{3 \cdot sin 60 ^{\circ}}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{3 \cdot \frac{3}{2}}{sin 20 ^{\circ}} = \frac{3 3}{2 \cdot sin 20 ^{\circ}}$