Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku:

Zauważmy, że pole trójkąta CED możemy zapisać wzorem:

$P_{CED}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot x\cdot \sin \alpha$  

skąd mamy

$\underline{P_1=\frac{1}{2}ax\sin \alpha }$

Zauważmy także, że pole czworokąta ABED jest równe różnicy pól trójkąta ABC i CED, czyli

$P_{ABED}=P_{ABC}-P_{CED}=\frac{1}{2}\cdot \left(a+b\right)\cdot \left(x+y\right)\cdot \sin \alpha -\frac{1}{2}ax\sin \alpha =$   

$=\frac{1}{2}\sin \alpha \left(\left(a+b\right)\left(x+y\right)-ax\right)=\frac{1}{2}\sin \alpha \left(ax+ay+bx+by-ax\right)=\frac{1}{2}\sin \alpha \left(ay+bx+by\right)$  

czyli

$\underline{P_2=\frac{1}{2}\sin \alpha \left(ay+bx+by\right)}$  

Skąd dostajemy, że 

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{\frac{1}{2}ax\sin \alpha }{\frac{1}{2}\sin \alpha \left(ay+bx+by\right)}=\frac{ax}{ay+bx+by}\left(\text{*}\right)$  

---

a) Wiadomo, że

$P_1:P_2=1:5\Rightarrow \frac{P_1}{P_2}=\frac{1}{5}$

oraz

$x:y=1:1\Rightarrow \frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y$     

Wstawiając otrzymanych zależności do (*) mamy

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{ax}{ay+bx+by}$  

$\frac{1}{5}=\frac{ax}{ax+bx+bx}$

$\frac{1}{5}=\frac{ax}{x\left(a+2b\right)}$  

$\frac{1}{5}=\frac{a}{a+2b}\mid \cdot 5\left(a+2b\right)$   

$a+2b=5a$

$2b=4a\mid :2$

$b=2a\mid :2$

$\frac{b}{2}=a\mid :b$  

$\frac{1}{2}=\frac{a}{b}$      

Odp. a : b = 1 : 2. 

---

b) Wiadomo, że

$P_1:P_2=1:3\Rightarrow \frac{P_1}{P_2}=\frac{1}{3}$

oraz

$x:y=1:2\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}y$     

Wstawiając otrzymanych zależności do (*) mamy

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{ax}{ay+bx+by}$  

$\frac{1}{3}=\frac{a\cdot \frac{1}{2}y}{ay+b\cdot \frac{1}{2}y+by}$

$\frac{1}{3}=\frac{y\cdot \frac{1}{2}a}{y\left(a+\frac{3}{2}b\right)}$  

$\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}a}{a+\frac{3}{2}b}\mid \cdot 3\cdot \left(a+\frac{3}{2}b\right)$   

$a+\frac{3}{2}b=\frac{3}{2}a$

$\frac{3}{2}b=\frac{1}{2}a\mid \cdot 2$

$3b=a\mid :b$

$3=\frac{a}{b}$     

Odp. a : b = 3 : 1. 

---

c) Wiadomo, że

$P_1:P_2=3:7\Rightarrow \frac{P_1}{P_2}=\frac{3}{7}$

oraz

$x:y=2:3\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}y$     

Wstawiając otrzymanych zależności do (*) mamy

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{ax}{ay+bx+by}$  

$\frac{3}{7}=\frac{a\cdot \frac{2}{3}y}{ay+b\cdot \frac{2}{3}y+by}$

$\frac{3}{7}=\frac{y\cdot \frac{2}{3}a}{y\left(a+\frac{5}{3}b\right)}$  

$\frac{3}{7}=\frac{\frac{2}{3}a}{a+\frac{5}{3}b}\mid \cdot 7\left(a+\frac{5}{3}b\right)$   

$3\left(a+\frac{5}{3}b\right)=\frac{14}{3}a$

$3a+5b=\frac{14}{3}a$

$5b=\frac{5}{3}a\mid \cdot \frac{3}{5}$

$3b=a\mid :b$

$3=\frac{a}{b}$       

Odp. a : b = 3 : 1.