Przypomnijmy, że:

$\alpha$	${30}^{\circ }$	${45}^{\circ }$	${60}^{\circ }$
$\sin \alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\mathrm{tg}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

 

a) Korzystając z danych na rysunku dostajemy że

$\sin {30}^{\circ }=\frac{3}{x}\Rightarrow x=\frac{3}{\sin {30}^{\circ }=}\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$

$\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{3}{y}\Rightarrow y=\frac{3}{\mathrm{tg}{30}^{\circ }}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}$

---

b) Korzystając z danych na rysunku dostajemy że

$\cos {45}^{\circ }=\frac{x}{5\sqrt{2}}\Rightarrow x=5\sqrt{2}\cdot \cos {45}^{\circ }=5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5$

$\sin {45}^{\circ }=\frac{y}{5\sqrt{2}}\Rightarrow y=5\sqrt{2}\cdot \sin {45}^{\circ }=5\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5$

---

c) Korzystając z danych na rysunku dostajemy że

$\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{x}{2\sqrt{3}}\Rightarrow x=2\sqrt{3}\cdot \mathrm{tg}{60}^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6$

$\cos {60}^{\circ }=\frac{2\sqrt{3}}{y}\Rightarrow y=\frac{2\sqrt{3}}{\cos {60}^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=4\sqrt{3}$

---

d) Korzystając z danych na rysunku dostajemy że

$\mathrm{tg}{45}^{\circ }=\frac{x}{2}\Rightarrow x=2\cdot \mathrm{tg}{45}^{\circ }=2\cdot 1=2$

$\cos {45}^{\circ }=\frac{2}{y}\Rightarrow y=\frac{2}{\cos {45}^{\circ }}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$

---

e) Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º dostajemy, że trzeci kąt w narysowanym trójkącie ma miarę:

${180}^{\circ }-\left({30}^{\circ }+{60}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$

Zatem korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, mamy 

$\cos {30}^{\circ }=\frac{x}{6\sqrt{2}}\Rightarrow x=6\sqrt{2}\cdot \cos {30}^{\circ }=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}$

$\sin {30}^{\circ }=\frac{y}{6\sqrt{2}}\Rightarrow y=6\sqrt{2}\cdot \sin {30}^{\circ }=6\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=3\sqrt{2}$   

---

f) Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º dostajemy, że trzeci kąt w narysowanym trójkącie ma miarę:

${180}^{\circ }-\left({45}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$

Zatem korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, mamy 

$\sin {45}^{\circ }=\frac{x}{3}\Rightarrow x=3\cdot \sin {45}^{\circ }=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\sin {45}^{\circ }=\frac{y}{3}\Rightarrow y=3\cdot \sin {45}^{\circ }=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$   

---

g) Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º dostajemy, że trzeci kąt w narysowanym trójkącie ma miarę:

${180}^{\circ }-\left({30}^{\circ }+{60}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$

Zatem korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, mamy 

$\cos {30}^{\circ }=\frac{x}{1}\Rightarrow x=\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin {30}^{\circ }=\frac{y}{1}\Rightarrow y=\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$

---

h) Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º dostajemy, że trzeci kąt w narysowanym trójkącie ma miarę:

${180}^{\circ }-\left({30}^{\circ }+{60}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$

Zatem korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, mamy 

$\cos {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{x}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{\cos {60}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}$

$\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{y}{\sqrt{3}}\Rightarrow y=\sqrt{3}\cdot \mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$