Dane są wielomiany

$P\left(x\right)=x^2+2x$

$Q\left(x\right)=2x^4+4x^3+3x^2+3x+1$

$W\left(x\right)=a{x}^2+bx+1$

a)

$W\left(x\right)\cdot P\left(x\right)=Q\left(x\right)$

$\left(a{x}^2+bx+1\right)\cdot \left(x^2+2x\right)=2x^4+4x^3+3x^2+3x+1$

$a{x}^4+2a{x}^3+b{x}^3+2b{x}^2+x^2+2x=2x^4+4x^3+3x^2+3x+1$   

$a{x}^4+\left(2a+b\right)x^3+\left(2b+1\right)x^2+2x=2x^4+4x^3+3x^2+3x+1$  

żeby lewa strona równania była równa prawej stronie, musiałoby zachodzić

$a=2$  

$2a+b=4\Rightarrow b=0$

$2b+1=3\Rightarrow b=1$

sprzeczność

nie istnieją takie współczynniki  a i b, dla których podana równość zachodzi. 

---

b)

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)-2x^2\cdot P\left(x\right)$  

$a{x}^2+bx+1=2x^4+4x^3+3x^2+3x+1-2x^2\cdot \left(x^2+2x\right)$  

$a{x}^2+bx+1=2x^4+4x^3+3x^2+3x+1-2x^4-4x^3$

$a{x}^2+bx+1=3x^2+3x+1$

żeby lewa strona równania była równa prawej stronie, musiałoby zachodzić

$a=3$

$b=3$

zatem dla

$a=3,b=3$

podana równość zachodzi.