Oblicz...- Zadanie 17: Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Z warunków podanych w zadaniu dostajemy układ równań postaci

$⎩ ⎨ ⎧ W (0) = 2 W (2) = 10 W (- 1) = 13$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c = 10 a (- 1)^{2} + b (- 1) + c = 13$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 4 a + 2 b + 2 = 10 a - b + 2 = 13$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 4 a + 2 b = 8 a = 11 + b$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 4 (11 + b) + 2 b = 8 a = 11 + b$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 44 + 4 b + 2 b = 8 a = 11 + b$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 6 b = - 36 a = 11 + b$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 b = - 6 a = 11 + b$

$⎩ ⎨ ⎧ c = 2 b = - 6 a = 5$

Z warunków podanych w zadaniu dostajemy układ równań postaci

$⎩ ⎨ ⎧ W (1) = 8 W (- 1) = 6 W (\frac{1}{2}) = 5 \frac{1}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a + 2 + b + c = 8 a (- 1)^{3} + 2 \cdot (- 1)^{2} + b \cdot (- 1) + c = 6 a \cdot (\frac{1}{2})^{3} + 2 \cdot (\frac{1}{2})^{2} + b \cdot \frac{1}{2} + c = 5 \frac{1}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 6 - b - c - a + 2 - b + c = 6 \frac{1}{8} a + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} b + c = 5 \frac{1}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 6 - b - c - (6 - b - c) + 2 - b + c = 6 \frac{1}{8} a + \frac{1}{2} b + c = 4 \frac{3}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 6 - b - c - 6 + b + c + 2 - b + c = 6 \frac{1}{8} a + \frac{1}{2} b + c = 4 \frac{3}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 6 - b - c 2 c = 10 \frac{1}{8} a + \frac{1}{2} b + c = 4 \frac{3}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 6 - b - 5 c = 5 \frac{1}{8} a + \frac{1}{2} b + c = 4 \frac{3}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 1 - b c = 5 \frac{1}{8} (1 - b) + \frac{1}{2} b + 5 = 4 \frac{3}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 1 - b c = 5 \frac{1}{8} - \frac{1}{8} b + \frac{1}{2} b = - \frac{1}{4}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 1 - b c = 5 \frac{3}{8} b = - \frac{3}{8}$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 1 - b c = 5 b = - 1$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 1 - (- 1) c = 5 b = - 1$

$⎩ ⎨ ⎧ a = 2 c = 5 b = - 1$

$W (1) - W (- 1) = - 2$

$- 1 + a + b + c - (- (- 1)^{3} + a (- 1)^{2} + b (- 1) + c) = - 2$

$- 1 + a + b + c - (1 + a - b + c) = - 2$

$- 1 + a + b + c - 1 - a + b - c = - 2$

$2 b - 2 = - 2$

$2 b = 0$

$b = 0$

II.

$W (2) + W (3) = 2$

$- 2^{3} + a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c - 3^{3} + a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + c = 2$

$- 8 + 4 a + 2 b + c - 27 + 9 a + 3 b + c = 2$

$13 a + 5 b + 2 c = 37$

wiemy, że

$b = 0$

więc

$13 a + 2 c = 37 (*)$

III.

$W (0) + W (4) = - 18$

$c - 4^{3} + a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c = - 18$

$c - 64 + 16 a + 4 b + c = - 18$

$16 a + 4 b + 2 c = 46$

wiemy, że

$b = 0$

więc

$16 a + 2 c = 46$

$8 a + c = 23$

$c = 23 - 8 a (**)$

wstawiając powyższą zależność do (*) dostajemy

$13 a + 2 (23 - 8 a) = 37$

$13 a + 46 - 16 a = 37$

$- 3 a = - 9$

$a = 3$

wstawiając a = 3 do (**) dostajemy

$c = 23 - 8 \cdot 3 = 23 - 24 = - 1$

więc

$a = 3, b = 0, c = - 1$

Z warunków podanych w zadaniu dostajemy układ równań postaci

$⎩ ⎨ ⎧ W (- 2) = 0 W (2) = 0 W (3) = 0$

$⎩ ⎨ ⎧ a \cdot (- 2)^{3} + b \cdot (- 2)^{2} + c \cdot (- 2) + 12 = 0 a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} + c \cdot 2 + 12 = 0 a \cdot 3^{3} + b \cdot 3^{2} + c \cdot 3 + 12 = 0$