1) Zauważmy, że miara kąta wpisanego 𝛼 jest równa sumie miar kątów wpisanych o mierze 25º i 20º. 

Zatem dostajemy, że 

$\alpha ={25}^{\circ }+{20}^{\circ }={45}^{\circ }$

---

2) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że trójkąt ADS jest równoboczny, ponieważ

$\left|AS\right|=\left|SD\right|=\left|AD\right|=r$

więc

$\left|\sphericalangle ASD\right|={60}^{\circ }$

Zauważmy, że kąt środkowy ASD i kąt wpisany γ są opisane na tym samym łuku. 

Zatem kąt γ jest dwa razy mniejszy od kąta ASD, czyli

$\gamma =\frac{1}{2}\cdot {60}^{\circ }={30}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt DSB.

Zauważmy, że jest on równoboczny, ponieważ

$\left|SD\right|=\left|BS\right|=\left|BD\right|=r$

więc 

$\left|\sphericalangle DSB\right|={60}^{\circ }$

zatem

$\left|\sphericalangle ASB\right|=\left|\sphericalangle ASD\right|+\left|\sphericalangle DSB\right|={60}^{\circ }+{60}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Zauważmy, że kąt środkowy ASB i kąt wpisany 𝛽 są opisane na tym samym łuku. 

Zatem kąt 𝛽 jest dwa razy mniejszy od kąta ASB, czyli

$\beta =\frac{1}{2}\cdot {120}^{\circ }={60}^{\circ }$

---

3) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku 

Zauważmy, że trójkąt ABC jest oparty na średnicy BC, zatem jest to trójkąt prostokątny, w którym

$\left|\sphericalangle BAC\right|={90}^{\circ }$

$\left|BC\right|=2\sqrt{2}$

$\left|AC\right|=2$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy

${\left|AB\right|}^2+2^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2$

${\left|AB\right|}^2+4=8$

${\left|AB\right|}^2=4\text{i}\left|AB\right|>0$

więc

$\left|AB\right|=2$

Trójkąt ABC jest więc prostokątny równoramienny. 

Zatem:

$\omega ={45}^{\circ }$  

Zauważmy, że kąty wpisane ω i δ są oparte na tym samym łuku, oznacza to że mają równe miary, czyli 

$\omega =\delta ={45}^{\circ }$

---

4) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku

 

Zauważmy, że kąty wpisane CDE i CAE to kąty wpisane oparte na łukach uzupełniających się.

Suma miar takich kątów jest równa 180°, skąd dostajemy że

$\left|\sphericalangle CAE\right|={180}^{\circ }-{125}^{\circ }={55}^{\circ }$

Podobnie kąty wpisane CBA i CEA to kąty wpisane oparte na łukach uzupełniających się.

Suma miar takich kątów jest równa 180°, skąd dostajemy że

$\left|\sphericalangle CEA\right|={180}^{\circ }-{100}^{\circ }={80}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy 

$\text{φ}={180}^{\circ }-\left({55}^{\circ }+{80}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{135}^{\circ }={45}^{\circ }$